Запишем уравнение (1) в проекциях на оси координат:
Σx=0: mv=m2∙v2x,
Σy=0: 0=-m1v1+m2∙v2y.
откуда выразим проекции скорости второго осколка:
По теореме Пифагора находим скорость
тангенс угла наклона вектора скорости к оси х
Пример 11. Человек массой m1 находится на неподвижной платформе массой m2. С какой угловой скоростью ω начнет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом r вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы равна v 0. Радиус платформы R. Считать платформу однородным диском, а человека - материальной точкой.
Рис.6.6
Решение. В начальном состоянии (состояние I) система тел “человек + платформа” неподвижна. При движении человека со скоростью v0 относительно платформы против часовой стрелки платформа начинает вращаться по часовой стрелке (состояние II) с угловой скоростью ω.
На систему действуют внешние силы тяжести и реакции со стороны оси, направленные вертикально (трением в оси пренебрегаем), их момент равен нулю. Поэтому можно применит закон сохранения момента импульса.
В состоянии I момент импульса системы равен нулю:
LI=0.
В состоянии II момент импульса человека (материальной точки) равен по модулю L1=m1v1r, где v1 - скорость человека относительно Земли, и направлен вертикально вверх. Момент импульса платформы (сплошного диска) равен по модулю L2=J2∙ω и направлен вертикально вниз. Суммарный момент импульса в проекции на ось, направленную вертикально вверх, равен:
LII=L1-L2=m1v1r-J2∙ω.
Здесь J2 - момент инерции сплошного диска, 
По закону сохранения момента импульса LI=LII имеем:
m1v1r-J2∙ω=0. (1)
Выразим скорость v 1 человека относительно Земли через скорость v 0 человека относительно платформы. Поскольку линейная скорость точек платформы, находящихся на расстоянии r от оси вращения равна v =ωr, то v 1= v 0-ωr.
Перепишем (1) в виде
откуда получим выражение для угловой скорости:
Пример 12. Два резиновых диска с шероховатой поверхностью вращаются вокруг осей, лежащих на одной вертикали, причем поверхности дисков параллельны. Первый диск обладает моментом инерции J1 и угловой скоростью ω1, второй - J2 и ω2. Определить угловую скорость дисков при падении верхнего диска и соединении его с нижним, а также изменение их суммарной кинетической энергии.
Решение. Два диска образуют систему взаимодействующих тел. На них действуют внешние силы тяжести и реакции со стороны оси, а также внутренняя сила трения. Поскольку моменты внешних сил относительно оси вращения равны нулю, можно применить закон сохранения момента импульса.
В начальном состоянии момент импульса системы равен
LI=J1ω1±J2ω2.
Знак “плюс” применяется в случае, когда диски вращаются в одном направлении, знак “минус” - в противоположных направлениях.
При соединении вследствие силы трения угловая скорость дисков становится одинаковой, а момент импульса системы принимает значение:
LII=(J1+J2)ω.
По закону сохранения импульса LI=LII получаем выражение
J1ω1±J2ω2=(J1+J2)ω,
откуда угловая скорость после соединения оказывается равной
Кинетическая энергия дисков в начальном состоянии составляет
в конечном состоянии –
Изменение суммарной кинетической энергии системы, равное количеству выделившегося тепла, составит
∆ W = W I- W II.
Подставляя в последнее выражение формулы (2) и (3) и учитывая (1), окончательно получим:
Знак “минус” применяется в случае, когда диски вращаются в одном направлении, знак “плюс” - в противоположных направлениях.
Пример 13. Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по законам: а) 
б) 
. Как изменяется момент сил, действующих на тело, в каждом случае?
Решение. Основное уравнение динамики вращательного движения кроме формы M=Jε может иметь вид 
Поэтому для ответа на заданный вопрос можно продифференцировать выражения момента импульса, заданные в условии задачи. В случае “а” 
поэтому с течением времени вращающий момент уменьшается. В случае “б” 
, с течением времени вращающий момент возрастает.
Вопросы для самопроверки
- Что называется количеством движения механической системы?
- Как формулируется теорема об изменении количества движения системы?
- Запишите математическое выражение теоремы об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и интегральной форме.
- В каком случае количество движения механической системы не изменяется?
- Как определяется импульс переменной силы за конечный промежуток времени? Что характеризует импульс силы?
- Чему равны проекции импульса постоянной и переменной силы на оси координат?
- Чему равен импульс равнодействующей?
- Как изменяется количество движения точки, движущейся равномерно по окружности?
- Что называется количеством движения механической системы?
- Чему равно количество движения маховика, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр тяжести?
- Сформулируйте теоремы об изменении количества движения материальной точки и механической системы в дифференциальной и конечной формах. Выразите каждую из этих четырех теорем векторным уравнением и тремя уравнениями в проекциях на оси координат.
- При каких условиях количество движения механической системы не изменяется? При каких условиях не изменяется его проекция на некоторую ось?
- Почему происходит откат орудия при выстреле?
- Могут ли внутренние силы изменить количество движения системы или количество движения ее части?
- Что называют телом переменной массы?
- Кем созданы основы механики тел переменной массы?
- Какой вид имеет основное уравнение динамики точки переменной массы? В каком случае оно имеет вид основного уравнения динамики точки постоянной массы?
- От каких факторов зависит скорость свободного движения ракеты?
- Зависит ли конечная скорость ракеты от времени сгорания топлива?
- Что называется кинетическим моментом механической системы? Какова его размерность?
- Чему равен кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения?
- Как выражается производная по времени от кинетического момента системы относительно точки?
- В каких случаях кинетический момент системы относительно точки и относительно оси остается постоянным?
- Что называют кинетическим моментом механической системы относительно центра или оси?
- Сформулируйте теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и относительно оси?
- При каких условиях остается постоянным кинетический момент механической системы относительно центра и при каких – кинетический момент относительно оси?
- Какова кинетическая интерпретация теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно центра?
- Почему трудно прыгнуть на берег с легкой лодки, а такой же прыжок с парохода легко осуществить?
- Покоящийся шар получает центральный удар от другого такого же шара. Когда первый шар приобретает большую скорость - при упругом или неупругом ударе?
