Закон сохранения главного момента количеств движения (импульса)

Из теоремы моментов можно получить следующие важные следствия.

1) Пусть сумма моментов относительно центра О всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что при этом . Таким образом, если сумма моментов относительно данного центра всех приложенных к системе внешних сил равна нулю, то главный, момент количеств движения системы относительно этого центра будет численно и по направлению постоянен.

2) Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их моментов относительно некоторой неподвижной оси Оz равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что при этом L_z = const. Таким образом, если сумма моментов всех действующих на си­стему внешних сил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно этой оси будет величиной постоянной.

Эти результаты выражают собою закон сохранения главного момента количеств движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить главный момент количеств движения системы не могут.

Закон сохранения момента количеств движения (импульса) лежит в основе работы гироскопа – устройства, широко применяющегося в навигационных приборах для автоматического управления движением тел – «автопилот», и во многих других устройствах навигации и управления.

Случай вращающейся системы.

Рассмотрим систему, вращающуюся вокруг неподвижной (или проходящей через центр масс) оси Оz. Тогда . Если в этом случае , то

Отсюда приходим к следующим выводам.

а) Если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то и, следовательно, , т. е. твердое тело, закреплен­ное на оси, вращается в этом случае с постоянной угловой скоростью.

б) Если система изменяема, то под действием внутренних (или внешних) сил отдельные ее точки могут удаляться от оси, что вызы­вает увеличение I_Z, или приближаться к оси, что приведет к умень­шению I_Z. Но поскольку , то при увеличении момента инерции угловая скорость системы будет уменьшаться, а при умень­шении момента инерции - увеличиваться. Таким образом, действием внутренних сил можно изменить угловую скорость вращения системы, так как постоянство К_z не означает вообще постоянства .

Рассмотрим некоторые примеры:

а) Опыты с платформой Жуковского. Для демонстра­ции закона сохранения момента количеств движения удобно пользо­ваться простым прибором, называемым «платформой Жуковского». Это круглая горизонтальная платформа на шариковых опорных под­шипниках, которая может с малым трением вращаться вокруг верти­кальной оси z. Для человека, стоящего на такой платформе,

.

и, следовательно, . Если человек, разведя руки в стороны, сообщит себе толчком вращение вокруг вертикальной оси, а затем опустит руки, то величина I_Z уменьшится и, следовательно, угловая скорость вра­щения возрастет. Таким способом увеличения угловой скорости враще­ния широко пользуются в балете, при прыжках в воздухе (сальто) и т. п.

Далее, человек, стоящий на платформе неподвижно (К_z=0), мо­жет повернуться в любую сторону, вращая вытянутую горизонтально руку в противоположном направлении. Угловая скорость вращения человека при этом будет такой, чтобы в сумме величина К _z системы осталась равной нулю.

б) Раскачивание качелей. Давлением ног (сила внутрен­няя) человек, стоящий на качелях, раскачать их не может. Сделать это можно следующим образом. Когда качели находятся в левом верх­нем положении A ₀, человек приседает. При прохождении через вер­тикаль он быстро выпрямляется. Тогда массы приближаются к оси вращения z, величина I_Z уменьшается, и угловая скорость скачком возрастает. Это увеличение приводит в конечном счете к тому, что качели поднимутся выше начального уровня A ₀. В правом верхнем положении, когда , человек опять приседает (на величине это, очевидно, не скажется); при прохождении через вертикаль он снова выпрямляется и т.д. В результате размахи качелей будут возрастать.

в) Реактивный момент винта. Воздушный винт, устано­вленный на вертолете, не только отбрасывает воздух вниз, но и сообщает отбрасываемой массе вращение. Суммарный момент количеств движения отбрасываемой массы воздуха и верто­лета должен при этом остаться равным нулю, так как система вначале была неподвижна, а силы взаимодействия между винтом и средой внутренние. Поэтому вертолет начинает вращаться в сторону, противоположную направлению вращения винта. Действующий при этом на вертолет вращающий момент называют реактивным моментом.

Чтобы предотвратить реактивное вращение корпуса одновинтового вертолета, на его хвостовой части устанавливают соответствующий рулевой винт. У многовинтового вертолета винты делают вращающи­мися в разные стороны.

 

Пример 7. Горизонтальная платформа массой m=100 кг вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n₁= 10 об/мин. Человек массой m₀=60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n₂ начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.

Решение. Воспользуемся для решения задачи законом сохранения момента импульса для замкнутой системы «человек-платформа»:

В первом состоянии момент импульса системы состоял из момента импульса платформы и момента импульса, человека, стоящего на краю платформы, т.е.

Во втором состоянии момент импульса системы изменился за счет того, что момент импульса человека стал равным нулю, т.к. он перешел в центр платформы, где его момент инерции как материальной точки равен нулю, поскольку ось вращения проходит через него. Поэтому

Отсюда

Частота вращения платформы станет

 

Пример 8. Муха ползает по ободу колесика (рис.6.1), которое может вращаться с пренебрежимо малым трением вокруг неподвижной оси. Сохраняется ли момент импульса системы относительно оси вращения, если ось колесика закреплена: а) горизонтально, б) вертикально?

Рис.6.1

 

Решение. Направим координатную ось z вдоль оси вращения. Изменение момента импульса относительно этой оси определяется суммарным моментом всех внешних сил, действующих на систему тел:

Внешними по отношению к системе “колесо + муха” являются сила тяжести колеса m₁g, сила тяжести мухи m₂g, а также сила реакции N вала, на который насажено колесо.

В первом случае (рис.6.2), когда ось z расположена горизонтально, все силы находятся в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Моменты сил m₁g и N равны нулю, т.к. линии, вдоль которых они действуют, проходят через ось вращения. Момент же силы m₂g в общем случае отличен от нуля (за исключением ситуаций, когда муха находится в верхней или нижней точке обода колеса) и равен m₂gd, где d - плечо силы. Поэтому при горизонтальном положении оси колеса момент импульса системы не сохраняется, поскольку правая часть уравнения (1) не обращается в нуль.

Рис.6.2

 

При вертикальном положении оси колеса (рис.6.3) все внешние силы оказываются параллельными оси вращения. Моменты сил относительно оси z в этом случае равны нулю, M_z=0. Из уравнения (1) видно, что

Следовательно, момент импульса системы относительно вертикальной оси сохраняется.

Рис.6.3

Пример 9. Человек, стоящий на вращающейся скамье Жуковского, держит в вытянутых руках гири (рис.6.4). Рассмотрим две ситуации.

1) человек опускает руки с гирями; 2) в некоторый момент человек выпускает гири из рук. Как изменилась в обоих случаях угловая скорость скамьи?

Варианты ответа: 1) уменьшилась, 2) увеличилась, 3) не изменилась.

Рис.6.4

 

Решение. Внешние силы, действующие на систему тел “скамья + человек + гири”, - силы тяжести со стороны Земли и сила реакции оси (трением пренебрегаем) не создают вращающих моментов относительно оси вращения, т.к. они параллельны оси. Следовательно, момент импульса данной системы тел не изменяется.

Рассмотрим первый случай. Момент инерции системы равен сумме моментов инерции всех тел, входящих в систему J=J₁+J₂+J₃. Момент инерции скамьи J₁ не изменяется. Когда человек опускает гири, его момент инерции уменьшается (за счет рук - они располагаются ближе к оси вращения), момент инерции гирь также уменьшается. Поскольку величина момента импульса определяется выражением L=Jω, то из (1) следует, что J_Iω_I=J_IIω_II, т.е. при уменьшении момента инерции (J_II<J_I) угловая скорость должна возрастать (ω_II>ω_I).

Во втором случае расстояние от всех тел системы до оси вращения остается постоянным, момент инерции системы не изменяется. Следовательно, все тела системы продолжают вращаться с той же угловой скоростью. Но поскольку человек отпускает гири, они, кроме вращательного движения, падают вниз с ускорением свободного падения, пока не упадут на пол.

 

Пример 10. Снаряд, летевший горизонтально со скоростью v, разрывается на две равные части. Первый осколок начинает падать вертикально вниз со скоростью v ₁= v /2. Определить величину и направление скорости второго осколка сразу после взрыва.

Рис.6.5

 

Решение. В задаче рассматривается процесс взрыва снаряда. Рассмотрим состояния I - до взрыва и II - сразу после взрыва. Два осколка, образующие до взрыва снаряд, составляют систему тел. На нее действуют внешние силы тяжести m₁g и m₂g (силами Архимеда и сопротивления воздуха ввиду их малости пренебрегаем), а также внутренние сила давления газов, образующихся при взрыве. Импульс внешних сил тяжести очень мал, т.к. взрыв протекает быстро и время взрыва ∆t невелико. Кроме того, силы тяжести значительно меньше внутренних сил, возникающих при взрыве. Поэтому в течение времени взрыва действием внешних сил можно пренебречь. Систему тел следует считать замкнутой, для которой выполняется закон сохранения импульса p_I=p_II.

В состоянии I p_I=mv, в состоянии II p_II=m₁v₁+m₂v₂, поэтому

mv=m₁v₁+m₂v₂. (1)

Закон сохранения импульса - векторное уравнение и решать его можно различными способами.

Геометрический способ.

Учитывая, что векторы можно складывать по правилу параллелограмма, то, в соответствии с формулой (1), импульсы осколков являются сторонами параллелограмма, а импульс снаряда - его диагональю. По условию задачи известны направления импульсов снаряда (горизонтальное) и первого осколка (вертикальное).

Из рисунка видно, что для нахождения скорости второго осколка можно применить теорему Пифагора:

Откуда

Учитывая, что m₁=m₂=m/2 и v₁=v/2, приходим к окончательному результату:

Из рис.6.5 легко определяется направление вектора скорости:

т.е. второй осколок движется под углом α = 14° к горизонту.