Закон сохранения количества движения (закон сохранения импульса)

В проекциях на координатные оси будем иметь:

Укажем на связь между доказанной теоремой и теоремой о дви­жении центра масс. Так как то, подставляя это значение в равенство и учитывая, что , мы получим .

Следовательно, теорема о движении центра масс и теорема об изменении количества движения системы представляют собой, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), можно в равной мере пользоваться любой из этих форм.

Практическая ценность теоремы состоит в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы (например, силы давления друг на друга частиц жидкости).

Закон сохранения количества движения (закон сохранения импульса).

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следую­щие важные следствия:

1) Пусть сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что Q= =const. Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю, то вектор количества движения (импульса) системы будет постоянен по модулю и направлению.

Рис.3

Обратим внимание на следующий факт. Из опыта мы знаем, что в результате выстрела платформа с орудием откатится в сторону, противоположную выстрелу, поэтому при проецировании мы сразу можем учесть это, поставив знак «минус» перед скоростью u платформы. Тогда мы получим

откуда

В ряде случаев, когда заранее нет ясности в том, в какую сторону будет двигаться объект, считаем, что скорость направлена вдоль оси х. В этом случае положительное значение полученного результата вычислений подтвердит наше предположение, а отрицательное – укажет на то, что движение происходит в направлении, противоположном выбранному.

2) Закон сохранения импульса в случае, когда платформа движется со скоростью v =18 км/ч = 5 м/с, имеет вид

В проекциях на ось х (рис.4):

Рис.4

Отсюда

Обратим внимание на то, что, посчитав, как в предыдущем случае, что платформа после выстрела начнет двигаться в обратную сторону, мы ошиблись, на что указывает знак «минус» в полученном ответе. Значит, направление движения платформы осталось прежним, но скорость ее уменьшилась.

3) Закон сохранения импульса в третьем случае имеет вид, аналогичным тому, что был записан для второго случая, т.е.

с той лишь разницей, что при проецировании на ось х (рис.5), получим другие знаки для скоростей:

Рис.5

Это даст

Таким образом, платформа будет двигаться в том же направлении со скоростью большей, чем первоначальная.

Пример 2. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью v, укреплено орудие, ствол которого направлен в сторону движения платформы под углом α к горизонту (рис.5.1). Орудие произвело выстрел, в результате чего скорость платформы с орудием уменьшилась в три раза. Найти скорость снаряда относительно орудия при вылете из ствола. Масса снаряда m₁, масса платформы с орудием m₂.

Рис.5.1

Решение. На систему тел “платформа с орудием + снаряд” действуют внешние силы - тяжести и нормального давления со стороны рельсов, направленные вертикально (горизонтальные силы трения можно считать пренебрежимо малыми) и внутренняя сила - давления газов, образующихся при выстреле. Следует учесть, что при выстреле сила нормального давления превышает силу тяжести, их равнодействующая не равна нулю. Следовательно, при выстреле вертикальная составляющая импульса системы не сохраняется, горизонтальная составляющая импульса останется неизменной:

p_Ix=p_IIx. (1)

В состоянии I (до выстрела) проекция импульса системы на ось х:

p_Ix=(m₁+m₂) v. (2)

Рассмотрим состояние II (после выстрела). Обозначим через v₀ скорость снаряда относительно платформы, u₁ - скорость снаряда относительно Земли, u₂ - скорость движения платформы с орудием. Импульс системы

p_IIx=m₁u_1x-m₂u₂.

Проекция скорости движения снаряда относительно Земли u_1x будет меньше, чем относительно орудия v_0x=v₀∙cosα на u₂:

u_1x=v₀∙cosα-u₂.

Следовательно,

Подставляя (2) и (3) в (1) и учитывая, что по условию u ₂= v /3, получаем уравнение

откуда выразим искомую скорость:

Пример 3. Человек массой m₁=60 кг, бегущий со скоростью v₁=2 м/с, впрыгивает на тележку массой m₂=80 кг, движущуюся со скоростью v₂=1 м/с. С какой скоростью будет двигаться тележка с человеком на ней, если: 1) человек догоняет тележку; 2) тележка и человек двигаются навстречу друг другу?

Решение. Закон сохранения импульса в данном случае имеет вид

1) Когда человек догоняет тележку, то их скорости направлены в одну сторону, следовательно, при проецировании на горизонтальную ось имеем

откуда

2) Когда человек и тележка движутся навстречу друг другу, то их скорости имеют разные знаки. Тогда уравнение в проекциях на ось х имеет вид

откуда

Тележка с человеком на ней будет двигаться в сторону, противоположную тому, куда двигалась тележка без человека.

Пример 4. Конькобежец массой M = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m = 3 кг со скоростью v = 8 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед k=0,02?

Решение. Импульс системы «конькобежец-камень» сохраняется, поэтому

С учетом того, что v₀=0, получим в уравнение в проекциях на горизонтальную ось

Mu=mv,

откуда скорость конькобежца u=mv/M. Из закона сохранения энергии кинетическая энергия конькобежца расходуется им на работу против силы трения, поэтому A_тр=∆W_кин.

т.к. cosα=-1 (сила трения направлена в сторону, противоположную скорости).

Приращение кинетической энергии

Тогда

Расстояние