Общее представление о вторичной обработке

Вторичная обработка заключается главным образом в статис­тическом анализе итогов первичной обработки. Уже табулирование и построение графиков, строго говоря, тоже есть статистическая обра­ботка, которая в совокупности с вычислением мер центральной тен­денции и разброса включается в один из разделов статистики, а именно в описательную статистику. Другой раздел статистики — индуктивная статистика [19] — осуществляет проверку соответствия данных вы­борки всей популяции, т. е. решает проблему репрезентативности ре­зультатов и возможности перехода от частного знания к общему [10, 34, 41, 42]. Третий большой раздел — корреляционная статистика — выявляет связи между явлениями. В целом же надо понимать, что «ста­тистика — это не математика, а, прежде всего, способ мышления, и для ее применения нужно лишь иметь немного здравого смысла и знать основы математики» [19, т. 2, с. 277].

Статистический анализ всей совокупности полученных в исследо­вании данных дает возможность охарактеризовать ее в предельно сжа­том виде, поскольку позволяет ответить на три главных вопроса: 1) ка­кое значение наиболее характерно для выборки?; 2) велик ли разброс данных относительно этого характерного значения, т. е. какова «размы­тость» данных?; 3) существует ли взаимосвязь между отдельными дан­ными в имеющейся совокупности и каковы характер и сила этих связей? Ответами на эти вопросы служат некоторые статистические показатели исследуемой выборки. Для решения первого вопроса вычисляются меры центральной тенденции (или локализации), второго — меры изменчиво­сти (или рассеивания, разброса), третьего — меры связи (или корреля­ции). Эти статистические показатели приложимы к количественным дан­ным (порядковым, интервальным, пропорциональным).

Меры центральной тенденции (м. ц. т.) — это величины, вокруг которых группируются остальные данные. Эти величины являются как бы обобщающими всю выборку показателями, что, во-первых, позво­ляет по ним судить обо всей выборке, а во-вторых, дает возможность сравнивать разные выборки, разные серии между собой. К мерам цент­ральной тенденции относятся: среднее арифметическое, медиана, мода, среднее геометрическое, среднее гармоническое.

Среднее арифметическое (М) —это результат деления суммы всех значений (X) на их количество (N): М = ЕХ / N.

Медиана (Me) — это значение, выше и ниже которого количество отличающихся значений одинаково, т. е. это центральное значение в последовательном ряду данных.

Примеры: 3,5,7,9,11,13,15; Me = 9.

3,5,7,9, 11, 13, 15, 17; Me = 10. [20]

Из примеров ясно, что медиана не обязательно должна совпадать с имеющимся замером, это точка на шкале. Совпадение происходит в случае нечетного числа значений (ответов) на шкале, несовпадение — при четном их числе.

Мода (Мо) — это значение, наиболее часто встречающееся в вы­борке, т. е. значение с наибольшей частотой.

Пример: 2, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10; Мо = 9.

Если всё значения в группе встречаются одинаково часто, то счи­тается, что моды нет (например: 1, 1, 5, 5, 8, 8). Если два соседних значения имеют одинаковую частоту и они больше частоты любого дру­гого значения, мода есть среднее этих двух значений (например: 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7; Мо = 3). Если то же самое относится к двум несмеж­ным значениям, то существует две моды, а группа оценок является би­модальной (например: 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 7; Мо = 1 и 4).

Обычно среднее арифметическое применяется при стремлении к наибольшей точности и когда впоследствии нужно будет вычислять стандартное отклонение. Медиана — когда в серии есть «нетипичные» данные, резко влияющие на среднее (например: 1, 3, 5, 7, 9, 26, 13). Мода — когда не нужна высокая точность, но важна быстрота опреде­ления м. ц. т.

Меры изменчивости (рассеивания, разброса) — это статисти­ческие показатели, характеризующие различия между отдельными зна­чениями выборки. Они позволяют судить о степени однородности по­лученного множества, о его компактности, а косвенно и о надежности полученных данных и вытекающих из них результатов. Наиболее ис­пользуемые в исследованиях показатели: размах, сред­нее отклонение, дисперсия, стандартное отклонение, полуквартилъное отклонение.

Размах (Р) —это интервал между максимальным и минимальным значениями признака. Определяется легко и быстро, но чувствителен к случайностям, особенно при малом числе данных.

Примеры: (0, 2, 3, 5, 8; Р = 8); (-0.2, 1.0, 1.4, 2.0; Р - 2,2).

Среднее отклонение (МД) — это среднеарифметическое разницы (по абсолютной величине) между каждым значением в выборке и ее средним: МД = Id / N, где: d = |Х-М|; М — среднее выборки; X — конкретное значение; N — число значений. [21]

Множество всех конкретных отклонений от среднего характери­зует изменчивость данных, но, если их не взять по абсолютной величи­не, то их сумма будет равна нулю, и мы не получим информации об их изменчивости. МД показывает степень скученности данных вокруг сред­него. Кстати, иногда при определении этой характеристики выборки вместо среднего (М) берут иные меры центральной тенденции — моду или медиану.

Дисперсия (Д) (от лат. dispersus — рассыпанный). Другой путь из­мерения степени скученности данных предполагает избегание нулевой суммы конкретных разниц (d = Х-М) не через их абсолютные величи­ны, а через их возведение в квадрат. При этом получают так называе­мую дисперсию:

Д = Σd² / N — для больших выборок (N > 30);

Д = Σd² / (N-1) — для малых выборок (N < 30).

Стандартное отклонение (δ). Из-за возведения в квадрат отдель­ных отклонений d при вычислении дисперсии полученная величина оказывается далекой от первоначальных отклонений и потому не дает о них наглядного представления. Чтобы этого избежать и получить ха­рактеристику, сопоставимую со средним отклонением, проделывают обратную математическую операцию — из дисперсии извлекают квад­ратный корень. Его положительное значение и принимается за меру изменчивости, именуемую среднеквадратическим или стандартным отклонением:

МД, Д и d применимы для интервальных и пропорционных дан­ных. Для порядковых данных обычно в качестве меры изменчивости берут полуквартильное отклонение (Q), именуемое еще полуквартильным коэффициентом или полумеждуквартильным размахом. Вычис­ляется этот показатель следующим образом. Вся область распределе­ния данных делится на четыре равные части. Если отсчитывать на­блюдения, начиная от минимальной величины на измерительной шкале (на графиках, полигонах, гистограммах отсчет обычно ведется слева направо), то первая четверть шкалы называется первым квартилем, а точка, отделяющая его от остальной части шкалы, обозначается сим­волом Q,. Вторые 25% распределения — второй квартиль, а соответ­ствующая точка на шкале — Q₂. Между третьей и четвертой четвертя- [22] ми распределения расположена точка Q,. Полу квартальный коэффи­циент определяется как половина интервала между первым и третьим квартилями: Q = (Q.-Q,) / 2.

Понятно, что при симметричном распределении точка Q₀ совпа­дет с медианой (а следовательно, и со средним), и тогда можно вычис­лить коэффициент Q для характеристики разброса данных относитель­но середины распределения. При несимметричном распределении это­го недостаточно. И тогда дополнительно вычисляют коэффициенты для левого и правого участков: Q_лев⁼ (Q₂-Q,) / 2; Q _прав = (Q, — Q₂) / 2.

 

Меры связи

Предыдущие показатели, именуемые статистиками, характери­зуют совокупность данных по одному какому-либо признаку. Этот из­меняющийся признак называют переменной величиной или просто «пе­ременной». Меры связи же выявляют соотношения между двумя пере­менными или между двумя выборками. Эти связи, или корреляции (от лат. correlatio — 'соотношение, взаимосвязь') определяют через вы­числение коэффициентов корреляции (R), если переменные находятся в линейной зависимости между собой. Но наличие корреляции не означает, что между переменными су­ществует причинная (или функциональная) связь. Функциональная за­висимость— это частный случай корреляции. Даже если связь при­чинна, корреляционные показатели не могут указать, какая из двух переменных причина, а какая — следствие. Кроме того, любая обнару­женная связь, как правило, существует благодаря и дру­гим переменным, а не только двум рассматриваемым. К тому же взаи­мосвязи признаков столь сложны, что их обусловлен­ность одной причиной вряд ли состоятельна, они детерминированы множеством причин.

Виды корреляции:

I. По тесноте связи:

1) Полная (совершенная): R = 1. Констатируется обязательная вза­имозависимость между переменными. Здесь уже можно говорить о функциональной зависимости.

2) связь не выявлена: R = 0. [23]

3) Частичная: 0<R<1. Меньше 0,2 —очень слабая связь; (0,2-0,4) — корреляция явно есть, но невысокая; (0,4-0,6) — явно выраженная кор­реляция; (0,6-0,8) — высокая корреляция; больше 0,8 — очень высокая.

Встречаются и другие градации оценок тесноты связи [61].

Кроме того, при оценке тесноты связи используют так называемую «частную» классификацию корреляционных связей. Эта классификация ориентирована не на абсолютную величину коэффици­ентов корреляции, а на уровень значимости этой величины при опреде­ленном объеме выборки. Эта классификация применяется при статис­тической оценке гипотез. Тогда чем больше выборка, тем меньшее зна­чение коэффициента корреляции может быть принято для признания достоверности связей. А для малых выборок даже абсолютно большое значение R может оказаться недостоверным [75].

 

II. По направленности:

1) Положительная (прямая);

Коэффициент R со знаком «плюс» означает прямую зависимость: при увеличении значения одной переменной наблюдается увеличение другой.

2) Отрицательная (обратная).

Коэффициент R со знаком «минус» означает обратную зависимость: увеличение значения одной переменной влечет уменьшение другой.

 

III. По форме:

1) Прямолинейная.

При такой связи равномерным изменениям одной переменной со­ответствуют равномерные изменения другой. Если говорить не только о корреляциях, но и о функциональных зависимостях, то такие формы зависимости называют пропорциональными.

2) Криволинейная.

Это связь, при которой равномерное изменение одного признака сочетается с неравномерным изменением другого.

Формулы коэффициента корреляции:

При сравнении порядковых данных применяется коэффициент ранговой корреляции по Ч. Спирмену (ρ): ρ = 6Σd² / N (N² — 1), где: d — разность рангов (порядковых мест) двух величин, N — число сравни­ваемых пар величин двух переменных (X и Y). [24]

При сравнении метрических данных используется коэффициент корреляции произведений по К. Пирсону (r): r = Σ ху / Nσ_xσ_y

где: х — отклонение отдельного значения X от среднего выборки (М_х), у — то же для Y, О_х — стандартное отклонение для X, а — то же для Y, N — число пар значений X и Y.

Внедрение в научные исследования вычислительной техники по­зволяет быстро и точно определять любые количественные характери­стики любых массивов данных. Разработаны различные программы для ЭВМ, по которым можно проводить соответствующий статистический анализ практически любых выборок. Из массы статистических приемов наибольшее распространение получили следующие: 1) комплексное вычисление статистик; 2) корреляционный анализ; 3) дисперсионный анализ; 4) регрессионный анализ; 5) факторный ана­лиз; 6) таксономический (кластерный) анализ; 7) шкалирование.