Пусть на произвольной прямой задан отрезок AB. Тогда всякая точка C этой прямой делит отрезок AB в некотором отношении λ = ± | AC |:| CB |. Если отрезки AC и CB направлены в одну сторону (т.е. точка C лежит внутри отрезка AB), то λ приписывают знак «+». Если же отрезки AC и CB направлены в противоположные стороны (т.е. точка C лежит вне отрезка AB), то λ приписывают знак «–».
Если точка A имеет координаты (x 1, y 1, z 1), а точка B – координаты (x 2, y 2, z 2), то координаты точки C (
, 
, 
) определяются по формулам:
; 
; 
.
В частности, если точка C делит отрезок AB пополам, то λ = 1 и координаты точки C (, , ) определяются по формулам:
; 
; 
.
Скалярное произведение векторов и его приложения
Скалярным произведением двух векторов 
и 
называется число 
,равное произведению данных векторов на косинус угла между ними
,
где 
обозначает меньший угол между направлениями векторов и , причем всегда 
.
Свойства скалярного произведения векторов:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) · = 0 ↔ ^ , т.е. если ненулевые векторы ортогональны.
Если векторы и разложены по осям координат, т.е. 
и 
, то скалярное произведение находится по формуле
,
т.е. сумме произведений соответствующих координат.
С помощью скалярного произведения можно определить угол между векторами:
.
Работа A силы 
, произведенная этой силой при перемещении тела на пути |S|, определяемом вектором 
, вычисляется по формуле
.
Задание 1
По координатам точек A, B и C для указанных векторов найти:
а) модуль вектора ;
б) скалярное произведение векторов и ;
в) проекцию вектора 
на вектор 
;
г) координаты точки M, делящей отрезок l в отношении α: β;
д) угол между векторами и ;
е) направляющие косинусы вектора .
1.1. A (4, 6, 3), B (– 5, 2, 6), C (4, – 4, – 3),
= 4 
– 
, = 
, = , = ,
l = AB, α = 5, β = 4.
1.2. A (4, 3, – 2), B (– 3, – 1, 4), C (2, 2, 1),
= – 5 + 2 , = , = , = ,
l = BC, α = 2, β = 3.
1.3. A (– 2, – 2, 4), B (1, 3, – 2), C (1, 4, 2),
= 2 – 3 
, = 
, = , = ,
l = BA, α = 2, β = 1.
1.4. A (2, 4, 3), B (3, 1, – 4), C (– 1, 2, 2),
= 2 + 4 , = , = , = ,
l = BA, α = 1, β = 4.
1.5. A (2, 4, 5), B (1, – 2, 3), C (– 1, – 2, 4),
= 3 – 4 , = , = , = ,
l = AB, α = 2, β = 3.
1.6. A (– 1, – 2, 4), B (– 1, 3, 5), C (1, 4, 2),
= 3 – 7 , = , = , = ,
l = AC, α = 1, β = 7.
1.7. A (1, 3, 2), B (– 2, 4, – 1), C (1, 3, – 2),
= 2 + 5 , = , = , = ,
l = AB, α = 2, β = 4.
1.8. A (2, – 4, 3), B (– 3, – 2, 4), C (0, 0, – 2),
= 3 – 4 , = = , = ,
l = AC, α = 2, β = 1.
1.9. A (3, 4, – 4), B (– 2, 1, 2), C (2, – 3, 1),
= 5 + 4 , = = , = ,
l = BA, α = 2, β = 5.
1.10. A (0, 2, 5), B (2, – 3, 4), C (3, 2, – 5),
= – 3 + 4 , = = , = ,
l = AC, α = 3, β = 2.
1.11. A (– 2, – 3, – 4), B (2, – 4, 0), C (1, 4, 5),
= 4 – 8 , = = , = ,
l = AB, α = 4, β = 2.
1.12. A (– 2, – 3, – 2), B (1, 4, 2), C (1, – 3, 3),
= 2 – 4 , = = , = ,
l = BC, α = 3, β = 1.
1.13. A (5, 6, 1), B (– 2, 4, – 1), C (3, – 3, 3),
= 3 – 4 , = = , = ,
l = BC, α = 3, β = 2.
1.14. A (10, 6, 3), B (– 2, 4, 5), C (3, – 4, – 6),
= 5 – 2 , = = , = ,
l = CB, α = 1, β = 5.
1.15. A (3, 2, 4), B (– 2, 1, 3), C (2, – 2, – 1),
= 4 – 3 , = , = , = ,
l = AC, α = 2, β = 4.
1.16. A (– 2, 3, – 4), B (3, – 1, 2), C (4, 2, 4),
= 7 + 4 , = = , = ,
l = AB, α = 2, β = 5.
1.17. A (4, 5, 3), B (– 4, 2, 3), C (5, – 6, – 2),
= 9 – 4 , = = , = ,
l = BC, α = 5, β = 1.
1.18. A (2, 4, 6), B (– 3, 5, 1), C (4, – 5, – 4),
= – 6 + 2 , = = 
, = ,
l = BC, α = 1, β = 3.
1.19. A (– 4, – 2, – 5), B (3, 7, 2), C (4, 6, – 3),
= 9 + 3 , = = , = ,
l = BA, α = 4, β = 3.
1.20. A (5, 4, 4), B (– 5, 2, 3), C (4, 2, – 5),
= 11 – 6 , = , = , = ,
l = BC, α = 3, β = 1.
1.21. A (3, 4, 6), B (– 4, 6, 4), C (5, – 2, – 3),
= – 7 + 4 , = , = , = ,
l = BA, α = 5, β = 3.
1.22. A (– 5, – 2, – 6), B (3, 4, 5), C (2, – 5, 4),
= 8 – 5 , = = , = ,
l = AC, α = 3, β = 4.
1.23. A (3, 4, 1), B (5, – 2, 6), C (4, 2, – 7),
= – 7 + 5 , = = , = ,
l = AB, α = 2, β = 3.
1.24. A (4, 3, 2), B (– 4, – 3, 5), C (6, 4, – 3),
= 8 – 5 , = = , = ,
l = BC, α = 2, β = 5.
1.25. A (– 5, 4, 3), B (4, 5, 2), C (2, 7, – 4),
= 3 + 2 , = = , = ,
l = BC, α = 3, β = 4.
1.26. A (6, 4, 5), B (– 7, 1, 8), C (2, – 2, – 7),
= 5 – 2 , = , = , = ,
l = AB, α = 3, β = 2.
1.27. A (6, 5, – 4), B (– 5, – 2, 2), C (3, 3, 2),
= 6 – 3 , = = , = ,
l = BC, α = 1, β = 5.
1.28. A (– 3, – 5, 6), B (3, 5, – 4), C (2, 6, 4),
= 4 – 5 , = , = , = ,
l = BA, α = 4, β = 2.
1.29. A (3, 5, 4), B (4, 2, – 3), C (– 2, 4, 7),
= 3 – 4 , = , = , = ,
l = BA, α = 2, β = 5.
1.30. A (4, 6, 7), B (2, – 4, 1), C (– 3, – 4, 2),
= 5 – 2 , = = , = ,
l = AB, α = 3, β = 4.
Пример решения задания 1
По координатам точек A (– 5, 1, 6), B (1, 4, 3) и C (6, 3, 9) найти:
а) модуль вектора = 4 + ;
б) скалярное произведение векторов и = ;
в) проекцию вектора = на вектор = ;
г) координаты точки M, делящей отрезок l = AB в отношении 1:3;
д) угол между векторами и ;
е) направляющие косинусы .
►а) Последовательно находим = (6, 3, – 3), = (5, – 1, 6), 4 + = (29, 11, – 6),
;
б) Имеем: = (29, 11, – 6), = (5, – 1, 6). Тогда
· =29·5 + 11·(– 1) + (– 6)·6 = 98;
в) Так как
прd = 
, = (6, 3, – 3),
· = 30 – 3 – 18 = 9, | | = 
,
то
;
г) Имеем: λ = 
, 
. Следовательно,
, 
,
, 
;
д) Имеем: = (29, 11, – 6), = (5, – 1, 6), 
, 
= 98. Тогда
= 
= 
= 0,394,
= arccos 0,394;
е) Имеем: = (6, 3, – 3), 
= 
. Тогда
, 
, 
.
Делаем проверку:
,
.◄
