Кафедра высшей математики
Элементы векторной алгебры
Методические указания и контрольные задания для студентов первых курсов
всех специальностей очной формы обучения
Составители: Гуменникова Ю.В.,
Лаврусь О.Е.,
Самара
УДК 519.7
Элементы векторной алгебры: методические указания и контрольные задания по дисциплине «Высшая математика» для студентов первых курсов всех специальностей очной формы обучения / Ю.В. Гуменникова, О.Е. Лаврусь. – Самара: СамГУПС, 2010. – 44 с.
Утверждены на заседании кафедры 09.09.2010, протокол № 7.
Печатается по решению редакционно-издательского совета университета
Методические указания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом, с действующей программой по высшей математике и охватывают основные разделы векторной алгебры.
В методических указаниях приведены индивидуальные задания, необходимые теоретические сведения, а также примеры решения задач.
Предназначены для студентов 1-го курса всех специальностей очной формы обучения.
Составители: Ю.В. Гуменникова, к.ф.-м.н., доцент,
О.Е. Лаврусь, к.т.н., доцент
Рецензенты: к. ф.-м. н., доцент СамГУ Воскресенская Л.А.
к. ф.-м. н., доцент СамГУПС Кайдалова Л.В..
Под редакцией зав. кафедрой «Высшая математика» Кузнецова В.П.
Компьютерная верстка
Подписано в печать ________ Формат 60х84. 1/16
Бумага писчая. Печать оперативная. Усл.п.л.
Тираж 300 экз. Заказ №
© Самарский государственный университет путей сообщения, 2010
Векторы
Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке A, а конец в точке B, то вектор обозначается 
:
Если начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой латинского алфавита – 
, 
, 
и т.д:
Направление вектора изображается стрелкой. Через 
обозначается вектор, направленный противоположно , через 
вектор, направленный противоположно .
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается 
.
Длиной, или модулем вектора, называется расстояние между его началом и концом. Записывается 
или 
, соответственно.
Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.
Два вектора называются ортогональными, если они перпендикулярны друг другу.
Свободным вектором в пространстве называется вектор, который без изменения дины и направления может быть перенесен в любую точку пространства.
Линейные операции над векторами
К линейным операциям над векторами относятся: умножение вектора на число и сложение (вычитание) векторов.
Произведением вектора на число m называется вектор 
, направление которого совпадает с направлением вектора , если m > 0 и противоположно ему, если m < 0. Длина вектора обозначается 
или 
. Например:
Сумму (разность) двух свободных векторов можно найти по правилу параллелограмма.
Пример. Даны свободные векторы и :
Поместим их начала в одну точку и достроим до параллелограмма:
Тогда вектор = + направлен по диагонали, берущей начало из этой же точки, а вектор 
= – будет направлен по другой диагонали параллелограмма от вычитаемого к уменьшаемому.◄
Если векторов больше двух, то применяют правило многоугольника, согласно которому векторы помещают последовательно (начало последующего помещается в конец предыдущего), а суммой векторов будет являться вектор, начало которого находится в начале первого вектора, а конец – в конце последнего вектора.
Пример. Даны векторы , , :
Найти линейную комбинацию 
.
Решение. Найдем векторы 2 , – , 3 :
Применив правило многоугольника, получаем
