Нормальное распределение. Статистические гипотезы

 

Адекватное применение количественных методов, вошедших в практику социологических исследований, в той или иной степени впирается на предположение, что изучаемый признак (или сово­купность признаков) подчиняется определенному статистическому закону распределения. Таким наиболее часто встречающимся рас­пределением является нормальный закон, представление о котором дано здесь в очень краткой форме.

Вторая группа вопросов, рассмотренных в этом разделе, связана с проверкой гипотез. Можно выделить две функции статистических процедур: во-первых, это описание элементов совокупности, во-вто­рых, помощь исследователю в принятии некоторых решений о них. В предыдущих разделах этой главы их рассмотрение было связано с дескриптивной функцией статистики. Здесь же кратко описаны основные понятия и принципы статистического вывода.

Нормальное распределение. Наиболее широко известным теоре­тическим распределением является нормальное, или гауссовское, распределение. Нормальное распределение признака наблюдается в тех случаях, когда на величину его значений действует множество случайных независимых или слабозависимых факторов, каждый из которых играет в общей сумме примерно одинаковую и малую роль (т. е. отсутствуют доминирующие факторы). Функция плотности гауссовского распределения имеет вид

где s² — дисперсия случайной величины (s² — это теоретическая дисперсия, отличающаяся от s², вычисляемой по выборочным дан­ным); m — среднее значение (математическое ожидание) (рис. 7).

В практических расчетах часто используется так называемое правило трех сигм, которое заключается в том, что лишь 0,26% всех значений нормально распределенного признака лежат вне ин­тервала m± Зs, т. е. почти все значения признака укладываются в интервале из шести сигм (рис. 8).

Статистические гипотезы.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения либо о параметрах известных рас­пределений²⁰. Так, статистической будет гипотеза о том, что пере­менная в генеральной совокупности распределена по нормальному закону. Проверяемую гипотезу называют нулевой (основной) гипоте­зой и обозначают Я₀. Наряду с нулевой рассматривается конкури­рующая гипотеза Я, (альтернативная), которая ей противоречит.

Статистический критерий и проверка гипотез. Для проверки ну­левой гипотезы ₍используется специально подобранная случайная величина, точное либо приближенное распределение которой из­вестно и обычно сведено в таблицы. Эта величина называется ста­тистическим критерием. Обозначим его пока К.

Для критерия К фиксируется так называемая критическая об­ласть, т. е. совокупность значений критерия, при. которых нулевую гипотезу отвергают. Точка К_кр называется критической, если она отделяет критическую область от области принятия гипотезы.

Различают правостороннюю, левостороннюю и двустороннюю критические области.

Принятие или отвержение гипотезы производится на основе со­ответствующего статистического критерия с определенной вероятно­стью. Считают, что нулевая гипотеза справедлива, если вероятность того, что критерий К примет значение, большее К_кр, т. е. попадет в критическую область, равна выбранному значению вероятно­сти a т. е.

Принятая вероятность а называется уровнем значимости.

Практически принятие или отвержение нулевой гипотезы прово­дится следующим образом: выбирается соответствующий критерий (этот вопрос будет обсуждаться далее); вычисляется наблюдаемое значение критерия К_И, исходя из эмпирического распределения; вы­бирается уровень статистической значимости (обычно 0,05 или 0,01).

По таблице распределения критерия К для данного уровня зна­чимости находят критическую точку К_кр. Если К_я > К_К1>, нулевую гипотезу отвергают, если же К_И < К_ку, то ее отвергать нет основа­ния.

Делая такие выводы (т. е. принимая или отвергая гипотезу), можно совершить ошибки двух типов: отвергнуть гипотезу, когда она верна; принять ее, когда она неверна. Поэтому при принятии гипотезы было бы неверным считать, что она тем самым полно­стью доказана. Для большей уверенности необходимо ее проверять другими способами (например, увеличить объем выборки).

Отвергают гипотезу более категорично, чем принимают.

Примеры статистических гипотез: а) нормальное распределение имеет заданное среднее и дисперсию либо имеет заданное среднее (о дисперсии ничего не говорится); б) распределение нормальное либо два неизвестных распределения одинаковы.

В качестве критериев чаще всего используются случайные ве­личины, распределенные нормально (Z — критерий), по закону «Фи­шера (F — критерий Фишера), по закону Стьюдента (t — критерий Стьюдента), по закону хи-квадрат (критерий c²) и т. д.

В качестве конкретного примера рассмотрим применение крите­рия хи-квадрат для проверки гипотезы о виде распределения изу­чаемого признака.

Критерий хи-квадрат. Популярность критерия хи-квадрат обусловлена главным образом тем, что применение его не требует пред­варительного знания закона распределения изучаемого признака. Кроме того, признак может принимать как непрерывные, так и дискретные значения, причем измеренные хотя бы на номинальном уровне.

Если закон распределения признака неизвестен, но есть основа­ния предположить, что он имеет определенный вид А, то критерий X² позволяет проверить гипотезу: исследуемая совокупность распре­делена по закону А. Для проверки такой гипотезы сравниваются эмпирические (наблюдаемые) и теоретические (вычисленные в пред­положении определенного распределения А) частоты. Выпишем эти частоты:

Как правило, эмпирические и теоретические частоты будут раз­личаться. Возможно, что наблюдаемое различие случайно (стати­стически незначимо) и объясняется либо малым числом наблюде­ний, либо способом их группировки, либо иными причинами. Но возможно, что расхождение частот значимо и объясняется тем, что теоретические частоты вычислены исходя из неверной гипотезы о характере распределения значений рассматриваемых признаков, генеральной совокупности. Критерий c² отвечает на вопрос, случай­но или пет такое расхождение частот. Как любой критерий, c² не доказывает справедливость гипотезы, а лишь с определенной веро­ятностью а устанавливает ее согласие или несогласие с данными

наблюдениями., Критерий c² имеет вид

Критическая точка распределения c² находится (см. табл. Б прило­жения} по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы df. Число степеней свободы находят по формуле

df=k – l – r,

где k — число интервалов вариационного ряда; r— число парамет­ров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки (например, для нормального распределения оценивают два параметра: m и s²).

Рассмотрим пример, когда признак оценивался в терминах «очень низкий», «средний», «очень высокий» и был получен сле­дующий ряд распределения для этих трех категорий:

Проверим гипотезу о том, что в генеральной совокупности зна­чения этого признака распределены равномерно.

Теоретическое распределение для этих групп получим, если предположим, что эти категории независимы, т. е. респондент с одинаковой вероятностью может попасть в любую группу. Очевид­но, ожидаемая (теоретическая) частота будет равна ²⁴/₃ = 8 человек.

Таким образом, имеем следующие эмпирические и теоретические частоты:

Проверяется гипотеза, что число респондентов во всех трех катего­риях одинаково, т. е. отличие распределения от равномерного ста­тистически незначимо.

 

По таблице распределения c², например, для уровня значимости 0,05 и степени свободы, равной df = 3 — 1 = 2, находим критиче­скую точку c² _кр = 5,991. Таким образом, наблюдаемое значение c² меньше c² _кр следовательно, данные наблюдений согласуются с ну­левой гипотезой и не дают оснований ее отвергнуть.

Хи-квадрат критерий применим и для проверки нулевой гипо­тезы об отсутствии связей между признаками в случае, если эмпи­рические данные сгруппированы не по одному, как выше, а гкг не­скольким признакам. Например, пусть имеется выборка в 190 чело­век, чье мнение относительно какого-то определенного вопроса ис­следовалось (табл. 5). Расчленим эту выборку на три независимых категории по возрасту. Рассмотрим следующие гипотезы: — не существует различия мнений относительно этого вопроса среди различных возрастных групп; Н—существует различие. Проверим гипотезу для уровня значимости а = 0,05.

Для нахождения ожидаемой (теоретической) частоты в любой клетке таблицы необходимо просто перемножить соответствующие маргинальные частоты и разделить произведение на итоговую сум­му. Например, ожидаемая частота для клетки (а) равна

 

Для нашего примера df= (4 — 1)(3 — 1) = 6. По табл. Б прило­жения находим, что c² _кр = 16,812. Следовательно, нужно отвергнуть гипотезу о том, что нет различий в мнении среди неодинаковых возрастных групп, т. е. можно предположить, что существует зна­чимая статистическая взаимосвязь между тем, к какой возрастной группе принадлежит респондент, и тем мнением, которое он высказывает. Однако величина c² не говорит о силе связи между переменными, а лишь указывает на вероятность существования такой свя­зи. Для Определения интенсивности связи необходимо использовать Соответствующие меры связи.

Для корректного применения методов, основанных на c², иссле­дователь должен обеспечить выполнение следующих условий. Вы­борку необходимо получить из независимых наблюдений. Данные могут быть измерены на любом уровне, но ни одна из ожидаемых частот не должна быть слишком мала (минимум 5). Если же часто­ты оказываются менее 5, то необходимо либо уменьшить степень дробности группировки признаков, объединив соседние категории, либо обратиться к другому критерию²¹.