Рассмотрим результат наблюдений Х за постоянной физической величиной Q как случайную величину, принимающую различные значения Z, в различных наблюдениях за ней. Значения 
будем называть результатами отдельных наблюдений.
Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения [1].
Под интегральной функцией распределения результатов наблю-дений понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения в i -м опыте окажется меньшим некоторого теку-щего значения х, от самой величины х:
| (4) |
Здесь и в дальнейшем большие буквы используются для обозначения случайных величин, а маленькие - значений, принимаемых случайными величинами. Поскольку функция распределения вероятности представляет собой вероятность, то она удовлетворяет следующим свойствам:
На рис.2 показаны примеры функций распределения вероятности.
Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей:
| (5) |
Физический смысл f(x) состоит в том, что произведение f(x)dx представляет вероятность попадания случайной величины Х в интервал от х до х + dx, т.е.
| (6) |
Свойства плотности распределения вероятности:
· 
- вероятность достоверного события равна 1;
иными словами, площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице;
· 
- вероятность попадания случайной величины в интервал от 
до 
.
От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем интегрирования:
| (7) |
Размерность плотности распределения вероятностей, как это следует из формулы (7), обратна размерности измеряемой величины, поскольку сама вероятность - величина безразмерная.
Используя понятия функций распределения, легко получить выражения для вероятностей того, что результат наблюдений Х или случайная погрешность 
примет при проведении измерения некоторое значение в интервале 
или 
.
В терминах интегральной функции распределения имеем:
т.е. вероятность попадания результата наблюдений или случайной погрешности в заданный интервал равна разности значений функции распределения на границах этого интервала.
Заменяя в полученных формулах интегральные функции распределения на соответствующие плотности распределения вероятностей согласно выражению (7), получим формулы для искомой вероятности в терминах дифференциальной функции распределения:
| (8) |
| (9) |
Таким образом, вероятность попадания результата наблюдения или случайной погрешности в заданный полуоткрытый интервал равна площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах этого интервала. Необходимо отметить, что результаты наблюдений в значительной степени сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой величины и по мере приближения к нему элементы вероятности их появления возрастают. Это дает основание принять за оценку истинного значения измеряемой величины координату центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения, и называемую математическим ожиданием результатов наблюдений:
| (10) |
В заключение можно дать более строгое определение постоянной систематической и случайной погрешностей.
Систематической постоянной погрешностью называется отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой величины:
| (11) |
а случайной погрешностью - разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием результатов
| (12) |
В этих обозначениях истинное значение измеряемой величины составляет
 .
| (13) |
