Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ќценка с помощью интервалов




—мысл оценки параметров с помощью интервалов заключаетс€ в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными веро€тност€ми (доверительными) наход€тс€ истинные значени€ оцениваемых параметров.

¬начале остановимс€ на определении доверительного интервала дл€ среднего арифметического значени€ измер€емой величины. ѕредположим, что распределение результатов наблюдений нормально и известна дисперси€ . Ќайдем веро€тность попадани€ результата наблюдений в интервал . —огласно формуле (29)


Ќо


и, если систематические погрешности исключены ,

(34)

Ёто означает, что истинное значение Q измер€емой величины с доверительной веро€тностью находитс€ между границами доверительного интервала .

ѕоловина длины доверительного интервала называетс€ доверительной границей случайного отклонени€ результатов наблюдений, соответствующей доверительной веро€тности –. ƒл€ определени€ доверительной границы (при выполнении перечисленных условий) задаютс€ доверительной веро€тностью, например =0.95 или =0.995 и по формулам

(35)


определ€ют соответствующее значение интегральной функции нормированного нормального распределени€. «атем по данным табл.ѕ.3 приложени€ наход€т значение коэффициента и вычисл€ют доверительное отклонение . ѕроведение многократных наблюдений позвол€ет значительно сократить доверительный интервал. ƒействительно, если результаты наблюдений (i =l, 2,..., n) распределены нормально, то нормально распределены и величины , а значит, и среднее арифметическое , €вл€ющеес€ их суммой. ѕоэтому имеет место равенство

(36)


где определ€етс€ по заданной доверительной веро€тности .

ѕолученный доверительный интервал, построенный с помощью среднего арифметического результатов n независимых повторных наблюдений, в раз короче интервала, вычисленного по результату одного наблюдени€, хот€ доверительна€ веро€тность дл€ них одинакова. Ёто говорит о том, что сходимость измерений растет пропорционально корню квадратному из числа наблюдений.

ѕоловина длины нового доверительного интервала

(37)


называетс€ доверительной границей погрешности результата измерений, а итог измерений записываетс€ в виде

(38)

“еперь рассмотрим случай, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперси€ неизвестна. ¬ этих услови€х пользуютс€ отношением

(39)


называемым дробью —тьюдента. ¬ход€щие в нее величины и вычисл€ют на основании опытных данных; они представл€ют собой точечные оценки математического ожидани€ и среднеквадратического отклонени€ результатов наблюдений.

ѕлотность распределени€ этой дроби, впервые предсказанного √оссетом, писавшим под псевдонимом —тьюдент, выражаетс€ следующим уравнением:

(40)


где S (t, k) - плотность распределени€ —тьюдента. ¬еличина k называетс€ числом степеней свободы и равна n - 1. ¬еро€тность того, что дробь —тьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале , согласно выражению (8), вычисл€етс€ по формуле


или, поскольку S (t, k) €вл€етс€ четной функцией аргумента t,


ѕодставив вместо дроби —тьюдента t ее выражение через и , получим окончательно

. (41)

¬еличины , вычисленные по формулам (40) и (41), были табулированы ‘ишером дл€ различных значений доверительной веро€тности в пределах 0.10 - 0.99 при ¬ табл.ѕ.5 приведены значени€ дл€ наиболее часто употребл€емых доверительных веро€тностей .

“аким образом, с помощью распределени€ —тьюдента по формуле (41) может быть найдена веро€тность того, что отклонение среднего арифметического от истинного значени€ измер€емой величины не превышает , например и т.д. »тог измерений записываетс€ в виде

(42)

 

ѕример. ѕо результатам п€ти наблюдений была найдена длина стержн€. »тог измерений составл€ет L =15.785 мм, =0.005 мм, причем существуют достаточно обоснованные предположени€ о том, что распределение результатов наблюдений было нормальным. “ребуетс€ оценить веро€тность того, что истинное значение длины стержн€ отличаетс€ от среднего арифметического из п€ти наблюдений не больше чем на 0.01 мм.

»з услови€ задачи следует, что имеютс€ все основани€ дл€ применени€ распределени€ —тьюдента.

¬ычисл€ем значение дроби —тьюдента


и число степеней свободы

.
ѕо данным табл.ѕ.4 приложени€ находим значение доверительной веро€тности дл€

и : .

ƒл€ =3 веро€тность составл€ет


т.е несколько меньше 0.9973, как при нормальном распределении. »тог измерений удобно записать в виде

.

ƒл€ =1 доверительна€ веро€тность составл€ет приблизительно 0.62, поэтому итог измерений можно представить также в виде

 

ѕример. ¬ услови€х предыдущей задачи найти доверительную границу погрешности результата измерений дл€ доверительной веро€тности . ѕо данным табл.ѕ.5 при находим и, следовательно, доверительна€ граница:

мм.


»тог измерений:

ѕри , а практически уже при распределение —тьюдента переходит в нормальное распределение и


где - интегральна€ функции нормированного нормального распределени€.

¬ тех случа€х, когда распределение случайных погрешностей не €вл€етс€ нормальным, все же часто пользуютс€ распределением —тьюдента с приближением, степень которого остаетс€ неизвестной.

 роме того, на основании центральной предельной теоремы теории веро€тностей можно утверждать, что при достаточно большом числе наблюдений распределение среднего арифметического как суммы случайных величин будет сколь угодно близким к нормальному. “огда, замен€€ дисперсию ее точечной оцен-кой [см.п.4.4. Ќормальное распределение], можно дл€ оценки доверительной гра-ницы погрешности результата воспользоватьс€ равенством (35). „исло наблюдений n, при котором это становитс€ возможным, зависит, конечно, от распределени€ случайных погрешностей.

—оотношени€ (38) показывают, что итог измерени€ не есть одно определенное число. ¬ результате измерений мы получаем лишь полосу значений измер€емой величины. —мысл итога измерений, например, L =20.00±0.05 заключаетс€ не в том, что L = 20.00, как дл€ простоты счи-тают, а в том, что истинное значение лежит где-то в границах от 19.95 до 20.05.   тому же нахождение внутри границ имеет некоторую веро€тность, меньшую, чем единица, и, следовательно, нахождение вне границ не исключено, хот€ и может быть очень маловеро€тным.

“еперь найдем доверительные интервалы дл€ дисперсии и среднеквадратического отклонени€ результатов наблюдений.

≈сли распределение результатов наблюдений нормально, то отношение

(43)


имеет так называемое -распределение ѕирсона с степен€ми свободы. ≈го дифференциальна€ функци€ распределени€ описываетс€ формулой

(44)

 ривые плотности -распределени€ при различных значени€х k, вычисленные по формуле (44), представлены на рис.9.

«начени€ , соответствующие различным веро€тност€м того, что отношение (43) в данном опыте будет меньше , представлены в табл.ѕ.6 приложени€ дл€ различных веро€тностей и чисел k степеней свободы.

ѕользу€сь этой таблицей, можно найти доверительный интервал дл€ оценки дисперсии результатов наблюдений при заданной доверительной веро€тности. Ётот интервал строитс€ таким образом, чтобы веро€тность выхода дисперсии за его границы не превышала некоторой малой величины q, причем веро€тности выхода за обе границы интервала были бы равны между собой и составл€ли соответственно q /2 (рис.10).

√раницы и такого доверительного интервала наход€т из равенства

(45)

“еперь, зна€ границы доверительного интервала дл€ отношени€ , запишем доверительный интервал дл€ дисперсии:

(46)


ѕолученное равенство означает, что с веро€тностью истинное значение среднеквадратического отклонени€ результатов наблюдений лежит в интервале ( ], границы которого равны

(47)

 

ѕример. ƒаны результаты двадцати измерений длины мм детали (табл.3).

“аблица 3

18.305 18.306 18.306 18.309
18.308 18.309 18.313 18.308
18.312 18.310 18.305 18.307
18.309 18.303 18.307 18.309
18.304 18.308 18.308 18.310

¬ качестве оценки математического ожидани€ длины детали принимаем ее среднее арифметическое

мм.

“очечна€ оценка среднеквадратического отклонени€ результатов наблюдений составл€ет:

мм.


ѕрин€в уровень доверительной веро€тности , находим дл€ числа степеней свободы в табл.ѕ.6 приложени€:

√раницы доверительного интервала дл€ среднеквадратического отклонени€ результатов наблюдений находим по формуле (47):


ѕолученные результаты говор€т о том, что истинное значение среднеквадратического отклонени€ результатов наблюдений с веро€тностью 0.90 лежит в интервале 0.0020 - 0.0034 мм.

¬ табл.ѕ.6 приведены значени€ только при числах степеней свободы от 1 до 30. ѕри k >30 можно пользоватьс€ приближенной формулой

 

где определ€етс€ из услови€ по табл.ѕ.3, в которой помещены значени€ интегральной функции нормированного нормального распределени€.

“огда границы доверительного интервала дл€ среднеквадратического отклонени€ результатов наблюдений при доверительной веро€тности вычисл€ютс€ по формулам (47) при значени€х , равных

(49)

“ак, если в услови€х предыдущей задачи среднеквадратическое отклонение определено на основании измерений, то дл€ из табл.ѕ.3 находим:


¬еличины при составл€ют:


√раницы доверительного интервала:





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-11-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 667 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тудент может не знать в двух случа€х: не знал, или забыл. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

1947 - | 1568 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.024 с.