Теорема умножения вероятностей для зависимых событий

Где - условная вероятность появления события В, при условии что появилось событие А.

Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть события независимые, причем

Вероятность появления события А, состоящее в том, что появится хотя бы одно событие :

Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу событий, равна сумму произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность появления события А:

Данная формула называется формулой полной вероятности

Формула Байеса (Бейеса)

Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно: . Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление события А. Вероятность того, что появилась i-ая гипотеза, при условии того, что произошло событие А

, где вероятность события А находится с помощью формулы полной вероятности

Данная формула и есть формула Байеса (Бейеса).

Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона

Пусть А – случайное событие, вероятности появления и непоявления Которого для некоторого испытания известны:

;

(6.1) И пусть производится не одно, а N повторных испытаний (или, что одно и то же, испытание повторяется N раз). Возникает естественный вопрос: какова вероятность того, что событие А В этих N повторных испытаниях появится K раз (целое число K можно задавать любым в пределах от 0 до N)? При этом не важно, в каком порядке событие А появится K раз в N испытаниях. Важно лишь общее число K Появлений этого события. Эту вероятность обозначают символом

(

- вероятность того, что в N испытаниях событие А Наступит K раз). И находится она по формуле Бернулли (Яков Бернулли – швейцарский математик 17-го века):

(6.2) Доказательство. Если в N повторных испытаниях событие А появится K Раз, то соответственно оно не появится N-K раз. И тогда вероятность любой конкретной комбинации K появлений события А и N-K непоявлений этого события можно найти по формуле (4.15) произведения вероятностей независимых в совокупности событий. То есть она равна

. Таких конкретных комбинаций будет, очевидно, столько, сколько существует сочетаний из N элементов (номеров испытаний) по K элементов в каждом сочетании. Эти сочетания образуются из K номеров тех испытаний, в которых будет появляться событие А. Каждому такому сочетанию K номеров будет соответствовать единственное сочетание тех N-K номеров испытания, в которых событие А не будет появляться. Так как всего таких сочетаний

, и каждое из них несовместно с любым другим сочетанием, то по формуле (4.10) сложения вероятностей попарно несовместных событий искомая вероятность равна величине

, взятой

раз. В итоге и приходим к формуле Бернулли (6.2). Пример 1. Монету подбрасывают пять раз подряд. Какова вероятность того, что при этом герб выпадет ровно три раза? Решение. Будем считать испытанием однократное подбрасывание монеты. Тогда N=5 – число повторных испытаний. Далее, будем считать событием А в каждом испытании (при каждом бросании монеты) выпадение герба. Тогда

;

; N=5; K=3;

На основании формулы Бернулли получаем:

. Формула Бернулли – точная формула. Однако при больших значениях N (большом числе испытаний) вычисления по ней становятся громоздкими из-за необходимости вычисления факториалов больших чисел и степеней с большими показателями. В процессе этих вычислений неизбежно придется производить округления, что приведет к погрешности при определении искомой вероятности

. Причем к погрешности тем большей, чем больше будет значение N (числа испытаний). В связи с этим из формулы Бернулли выведены упрощенные приближенные формулы для

, которые, кстати, тем точнее, чем больше число N.

Другой приближенной формулой для подсчета вероятностей , применяемой при больших N, является Формула Пуассона (формула редких событий):

, где (6.6)

Она применяется, когда N Велико (условно N 50), а Р мало (0< Р <0,1), и когда Npq< 10. То есть когда не оправдано ни применение формулы Бернулли, ни применение локальной формулы Лапласа. При этих условиях приближенная формула Пуассона, как и локальная формула Лапласа, обеспечивает определение искомой вероятности С погрешностью в пределах одного процента.

Кстати, так как вероятность события А Мала (0< Р <0,1), то при повторении испытаний событие А наступает редко. Поэтому формула Пуассона и называется формулой редких событий. Вывод этой формулы опустим.

Пример 3. Производится 50 повторных испытаний, причем вероятность появления некоторого события А В каждом из них равна 0,98. Определить вероятность того, что событие А наступит во всех 50 испытаниях.

Решение. В данной задаче

P(A)=P= 0,98; P(Ā)=Q= 0,02; N= 50; K= 50;

Если применить формулу Бернулли, то получим результат, который очевиден и без формулы Бернулли:

Попробуем избежать громоздкой процедуры возведения числа 0,98 в 50-ую степень (её, впрочем, можно и избежать, если использовать логарифмы). То есть заменим формулу Бернулли на локальную формулу Лапласа или Пуассона.

Так как Npq =50·0,98·0,02=0,98<10, то локальную формулу Лапласа применять нельзя - мы получим слишком грубый (неточный) результат. Но и формулу Пуассона (формулу редких событий) мы тоже применить не можем, так как вероятность Р не мала, а наоборот, велика. Но зато мала вероятность Q непоявления этого события. В связи с этим переформулируем задачу: найдем вероятность того, что событие появится 0 раз (ни разу). Эта вероятность, очевидно, совпадает с искомой вероятностью Того, что событие А появится во всех 50 испытаниях. Тогда в этой постановке получаем:

P(Ā)=P =0,02; P(A)=Q =0,98; N =50; K =0; ?

Применяя формулу Пуассона (теперь ее применять можно), получим:

≈ = | λ=Np =50·0,02=1| = = ≈ ≈ 0,37.

Локальная теорема Лапласа

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях очень трудно. Например, если , то для отыскания вероятности надо вычислить значение выражения

Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую вероятность, не используя формулу Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления событий ровно раз в испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Теорема 3.1. Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции

при .

Существуют таблицы, которые содержат значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента . Для отрицательных значений аргумента используют те же таблицы, так как функция четна, т. е. .

Итак, приближенно вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз,

где .

Пример 3. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию . Воспользуемся асимптотической, формулой Лапласа:

Вычислим определяемое данными задачи значение :

По таблице прил, 1 находим . Искомая вероятность

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены):