Где 
- условная вероятность появления события В, при условии что появилось событие А.
Вероятность появления хотя бы одного события
Пусть события 
независимые, причем
Вероятность появления события А, состоящее в том, что появится хотя бы одно событие :
Формула полной вероятности
Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) 
, образующих полную группу событий, равна сумму произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность появления события А:
Данная формула называется формулой полной вероятности
Формула Байеса (Бейеса)
Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно: 
. Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление события А. Вероятность того, что появилась i-ая гипотеза, при условии того, что произошло событие А
, где вероятность события А находится с помощью формулы полной вероятности
Данная формула и есть формула Байеса (Бейеса).
4)
| Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона | 
| 
| 
|
Пусть А – случайное событие, вероятности появления и непоявления
Которого для некоторого испытания известны:
 ;  ;  (6.1)
И пусть производится не одно, а N повторных испытаний (или, что одно и то же, испытание повторяется N раз). Возникает естественный вопрос: какова вероятность того, что событие А В этих N повторных испытаниях появится K раз (целое число K можно задавать любым в пределах от 0 до N)? При этом не важно, в каком порядке событие А появится K раз в N испытаниях. Важно лишь общее число K Появлений этого события. Эту вероятность обозначают символом  ( - вероятность того, что в N испытаниях событие А Наступит K раз). И находится она по формуле Бернулли (Яков Бернулли – швейцарский математик 17-го века):
 (6.2)
Доказательство. Если в N повторных испытаниях событие А появится K Раз, то соответственно оно не появится N-K раз. И тогда вероятность любой конкретной комбинации K появлений события А и N-K непоявлений этого события можно найти по формуле (4.15) произведения вероятностей независимых в совокупности событий. То есть она равна  . Таких конкретных комбинаций будет, очевидно, столько, сколько существует сочетаний из N элементов (номеров испытаний) по K элементов в каждом сочетании. Эти сочетания образуются из K номеров тех испытаний, в которых будет появляться событие А. Каждому такому сочетанию K номеров будет соответствовать единственное сочетание тех N-K номеров испытания, в которых событие А не будет появляться. Так как всего таких сочетаний  , и каждое из них несовместно с любым другим сочетанием, то по формуле (4.10) сложения вероятностей попарно несовместных событий искомая вероятность равна величине , взятой раз. В итоге и приходим к формуле Бернулли (6.2).
Пример 1. Монету подбрасывают пять раз подряд. Какова вероятность того, что при этом герб выпадет ровно три раза?
Решение. Будем считать испытанием однократное подбрасывание монеты. Тогда N=5 – число повторных испытаний. Далее, будем считать событием А в каждом испытании (при каждом бросании монеты) выпадение герба. Тогда
 ;  ; N=5; K=3; 
На основании формулы Бернулли получаем:
  .
Формула Бернулли – точная формула. Однако при больших значениях N (большом числе испытаний) вычисления по ней становятся громоздкими из-за необходимости вычисления факториалов больших чисел и степеней с большими показателями. В процессе этих вычислений неизбежно придется производить округления, что приведет к погрешности при определении искомой вероятности . Причем к погрешности тем большей, чем больше будет значение N (числа испытаний). В связи с этим из формулы Бернулли выведены упрощенные приближенные формулы для , которые, кстати, тем точнее, чем больше число N.
|
Другой приближенной формулой для подсчета вероятностей , применяемой при больших N, является Формула Пуассона (формула редких событий):
, где 
(6.6)
Она применяется, когда N Велико (условно N 
50), а Р мало (0< Р <0,1), и когда Npq< 10. То есть когда не оправдано ни применение формулы Бернулли, ни применение локальной формулы Лапласа. При этих условиях приближенная формула Пуассона, как и локальная формула Лапласа, обеспечивает определение искомой вероятности С погрешностью в пределах одного процента.
Кстати, так как вероятность события А Мала (0< Р <0,1), то при повторении испытаний событие А наступает редко. Поэтому формула Пуассона и называется формулой редких событий. Вывод этой формулы опустим.
Пример 3. Производится 50 повторных испытаний, причем вероятность появления некоторого события А В каждом из них равна 0,98. Определить вероятность того, что событие А наступит во всех 50 испытаниях.
Решение. В данной задаче
P(A)=P= 0,98; P(Ā)=Q= 0,02; N= 50; K= 50; 
Если применить формулу Бернулли, то получим результат, который очевиден и без формулы Бернулли:
Попробуем избежать громоздкой процедуры возведения числа 0,98 в 50-ую степень (её, впрочем, можно и избежать, если использовать логарифмы). То есть заменим формулу Бернулли на локальную формулу Лапласа или Пуассона.
Так как Npq =50·0,98·0,02=0,98<10, то локальную формулу Лапласа применять нельзя - мы получим слишком грубый (неточный) результат. Но и формулу Пуассона (формулу редких событий) мы тоже применить не можем, так как вероятность Р не мала, а наоборот, велика. Но зато мала вероятность Q непоявления этого события. В связи с этим переформулируем задачу: найдем вероятность 
того, что событие 
появится 0 раз (ни разу). Эта вероятность, очевидно, совпадает с искомой вероятностью 
Того, что событие А появится во всех 50 испытаниях. Тогда в этой постановке получаем:
P(Ā)=P =0,02; P(A)=Q =0,98; N =50; K =0; ?
Применяя формулу Пуассона (теперь ее применять можно), получим:
≈ 
= | λ=Np =50·0,02=1| = 
= 
≈ 
≈ 0,37. 
Локальная теорема Лапласа
Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях 
очень трудно. Например, если 
, то для отыскания вероятности 
надо вычислить значение выражения
Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую вероятность, не используя формулу Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления событий ровно 
раз в испытаниях, если число испытаний достаточно велико.
Теорема 3.1. Если вероятность 
появления события 
в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность 
того, что событие появится в испытаниях ровно раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции
при 
.
Существуют таблицы, которые содержат значения функции 
, соответствующие положительным значениям аргумента 
. Для отрицательных значений аргумента используют те же таблицы, так как функция 
четна, т. е. 
.
Итак, приближенно вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз,
где .
Пример 3. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,2.
Решение. По условию 
. Воспользуемся асимптотической, формулой Лапласа:
Вычислим определяемое данными задачи значение :
По таблице прил, 1 находим 
. Искомая вероятность
Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены):
