Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Функция 
называется непрерывной справа в точке 
, если 
.
Функция называется непрерывной слева в точке , если 
.
Функция 
называется непрерывной в интервале 
, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция называется непрерывной на отрезке 
, если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть 
и непрерывной слева в точке 
, то есть 
.
Функция называется непрерывной в точке , если:
1. функция определена в точке и ее окрестности;
2. существует конечный предел функции в точке ;
3. это предел равен значению функции в точке , т.е. 
При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть
Задание. Вычислить предел 
Решение. 
Ответ. 
Асимптоты.
Аси́мпто́та (от греч. ασϋμπτωτος — несовпадающий, не касающийсякривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность
Виды асимптот:
Вертикальная
Вертикальная асимптота — прямая вида 
при условии существования предела 
.
Горизонтальная
Горизонтальная асимптота — прямая вида 
при условии существования предела
.
Наклонная
Наклонная асимптота — прямая вида 
при условии существования пределов
Порядок нахождения асимптот
1. Нахождение вертикальных асимптот.
2. Нахождение двух пределов 
3. Нахождение двух пределов 
:
если 
в п. 2.), то 
, и предел находится по формуле горизонтальной асимптоты, .
Понятие производной. Основные правила дифференцирования.
Произво́дная (функции в точке) — основноепонятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.
Таблица производных
| Производные степенных функций | Производные тригонометрических функций | Производные обратных тригонометрических функций |
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
Правила дифференцирования
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
· 
· 
· 
[2]
· 
[3]
· 
· 
…(g ≠ 0)
· 
(g ≠ 0)
· Если функция задана параметрически:
, то 
Основная статья: Дифференцирование сложной функции
· 
· Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):
где 
— биномиальные коэффициенты.
Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:
· если функция дифференцируема на интервале 
, то она непрерывна на интервале . Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция 
на 
);
· если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном 
, то 
(это так называемая лемма Ферма);
· производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.
· 
Доказательство
■
