Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Запись комплексного числа z = a + bi в виде z = r cos + i sin называется тригонометрической формой комплексного числа. Модуль комплексного числа: r = a 2+ b 2 Аргумент комплексного числа:cos = ra sin = rb

Свойство умножения: Произведение двух комплексных чисел z 1= r 1 cos 1+ i sin 1 и z 2= r 2 cos 2+ i sin 2 будет комплексное число вида z 1 z 2= r 1 r 2 cos ( 1+ 2)+ i sin( 1+ 2)

Свойство деления: Частное двух комплексных чисел z 1= r 1 cos 1+ i sin 1 и z 2= r 2 cos 2+ i sin 2 будет комплексное число вида z 2 z 1= r 2 r 1 cos ( 1− 2)+ i sin( 1− 2)

Свойство возведение в степень: Степень комплексного числа z = r cos + i sin будет комплексное число вида r cos + i sin n = rn cos n + i sin n

Свойство извлечения корня: Корень из комплексного числа z = r cos + i sin будет комплексное число вида nr cos + i sin = nr cos n +2 k + i sin n +2 k k =0;1;2; ; n −1

Формула Муавра: cos + i sin n =cos n + i sin n

Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме.

Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами.

Понятие комплексного числа.

Рекомендация: не пытайтесь представить комплексное число в реальной жизни, это всё равно, что представить бесконечность, четвёртое измерение или что-то сверх нашего сознания.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:

Векторы. Операции над векторами.

Координаты векторов. Действия над векторами, заданными своими координатами.

. При сложении двух (или большего числа) векторов их соответственные координаты складываются:

(x ₁; y ₁; z ₁) + (x ₂; y ₂; z ₂) = (x ₁ + x ₂; y ₁ + y ₂; z ₁ + z ₂).

В самом деле, для двух векторов (x ₁; y ₁; z ₁) и (x ₂; y ₂; z ₂) имеем

(x ₁; y ₁; z ₁) + (x ₂; y ₂; z ₂) =

= (x ₁ e ₁ + y ₁ e ₂ + z ₁ e ₃) + (x ₂ e ₁ + y ₂ e ₂ + z ₂ e ₃) =

= (x ₁ + x ₂) e ₁ + (y ₁ + y ₂) e ₂ + (z ₁ + z ₂) e ₃ =

= (x ₁ + x ₂; y ₁ + y ₂; z ₁ + z ₂).

Для суммы трех или большего числа векторов доказательство проводится аналогично.

2. При вычитании векторов их соответственные координаты вычитаются:

(x ₁; y ₁; z ₁) — (x ₂; y ₂; z ₂) = (x ₁ — x ₂; y ₁ — y ₂; z ₁ — z ₂)

Доказательство проведите самостоятельно.

3. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

В самом деле, для вектора (x ₁; y ₁; z ₁) и числа λ, имеем

λ (x ₁; y ₁; z ₁) = λ (x ₁ e ₁ + y ₁ e ₂ + z ₁ e ₃) =

= (λ x ₁) e ₁+ (λ y ₁) e ₂ + (λ z ₁) e ₃ = (λ x ₁; λ y ₁; λ z ₁)

Деление отрезка в данном отношении.

Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки (, ) и (, ), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам

, .Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам , .

Длина вектора.

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = {a_x; a_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = √a_x² + a_y²