Визначений та невласний інтеграли

 

1. Означення визначеного інтеграла, його геометричний і фізичний зміст, умови існування. Обчислення визначених інтегралів за формулою Ньютона – Лейбніця. Заміна змінної і інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Обчислення площі плоскої фігури.

2. Невласні інтеграли першого роду (з нескінченними межами інтегру­вання)

та невласні інтеграли другого роду (від функцій, необмежених на скінченому проміжку).

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

1. Задачі, що приводять до звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Основні поняття і означення.

2. Диференціальні рівняння першого порядку: з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні.

3. Диференціальні рівняння другого порядку: лінійні однорідні та лінійні неоднорідні (зі спеціальною правою частиною) зі сталими коефіцієнтами.

ЧИСЛОВІ РЯДИ

1. Числові ряди: основні поняття і означення. Необхідна умова збіжності. Основні властивості збіжних рядів. Дослідження збіжності числових рядів з додатними членами.

2. Достатні умови (ознаки) збіжності додатних числових рядів:ознака порівняння, ознака Даламбера, радикальна ознака Коші.

3. Знакопочережні ряди. Ознака Лейбніця.

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Елементи комбінаторикитапоняття ймовірності події, обчислення:

формули комбінаторики-розміщення, перестановки, сполучення; класична формула теорії ймовірностей; обчислення ймовірностей випадкових подій.

 

ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Формула Ньютона - Лейбніця для обчислення визначених інтегралів

.

Спосіб підстановки у визначених інтегралах

 

.

Спосіб інтегрування за частинами у визначених інтегралах

 

.

Обчислення площі плоскої фігури.

а) криволінійна трапеція:

,

 

 

.

 

б) криволінійний сектор:

,

 

 

Невласні інтеграли з нескінченними границями

а) невласні інтеграли з нескінченними границями

.

.

, де –довільне значення, – всюди неперервна функція.

Якщо границя такого інтегралу є кінцевою, то такий інтеграл називається збіжним; у разі, коли інтеграл прямує до , його називають розбіжним.

 

б) невласні інтеграли від розривних функцій

,

де – точка розриву функції, де

.

.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

 

Диференціальним рівнянням (надалі, Д.Р.) називається рівняння, що містить похідні або диференціали невідомої функції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференціального рівняння.

 

Д.Р. вигляду N₁(y)M₁(x)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0 називаються Д.Р. з відокремленими змінними.

Д.Р. називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді: .

Воно за допомогою заміни змінної Þ зводиться до Д.Р. з відокремлюваними змінними.

Д.Р. виду y’+P(x)y=Q(x) називається лінійним Д.Р. Його розв’язок розшукується у вигляді .

 

Приклад 1. Розв’язати задачу Коші (знайти загальний розв’язок диференційного рівняння і частинний розв’язок при заданих початкових умовах):

, .

Розв’язання. Запишемо рівняння у диференціалах:

.

 

Дане рівняння є рівнянням першого порядку з відокремлюваними змінними (тобто може бути зведене до вигляду, коли з одного боку знака рівності присутня тільки залежна змінна y, а з іншого – тільки незалежна змінна x, таку рівність можна про інтегрувати і отримати загальний інтеграл рівняння).

Виконаємо відокремлення змінних, для чого домножимо рівняння на , в результаті отримаємо рівняння з відокремленими змінними

.

Проінтегруємо отримане рівняння:

,

і отримаємо

.

Це – загальний інтеграл рівняння у неявному вигляді. Звідси:

.

Частинний розв’язок знаходимо за допомогою початкової умови, підставляючи її о загального розв’язку:

; С= 2.

Тоді частинним розв’язком диференційного рівняння є

.

 

Приклад 2. Знайти частинний розв’язок диференційного рівняння при заданих початкових умовах

, .

Розв’язання. Дане рівняння є лінійним диференційним рівнянням першого порядку.

; ;

,

Накладемо на функцію v умову, щоб вираз у дужках дорівнював нулю, тобто

,

і знайдемо функцію v з отриманого диференційного рівняння.

,

Тепер функцію u знаходимо з рівняння

що утворюється в результаті підстановки v = x до початкового рівняння:

Оскільки y = uv, то загальним розв’язком рівняння є

Константу інтегрування С знаходимо з початкової умови:

.

Отже,

Приклад 3. Розв’яжіть задачу: знайти криву, яка проходить через точку М(0;1), якщо кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої дорівнює .

Розв’язання.

Як відомо, . Тому потрібно розв’язати задачу Коші:

, .

, .

Отже, шукана крива .

 

Рівняння вигляду називаються лінійними однорідними Д.Р. Його загальний розв’язок має вигляд , де лінійно незалежні частинні розв’язки рівняння. Розшукуємо їх у вигляді , де - корені характеристичного рівняння .

Розв’язок:

а) D>0 б) D=0, = –b/2

; ;

в) D<0, – комплексні числа.

.

Рівняння вигляду називається лінійним неоднорідним ДР 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами.

Для того, щоб знайти загальний розв’язок неоднорідного ДР, необхідно скористатися таким твердженням: загальний розв’язок такого ДР дорівнює сумі розв’язку відповідного однорідного ДР та якого-небудь частинного розв’язку неоднорідного ДР: , де – загальний розв’язок відповідного однорідного ДР, – частинний розв’язок неоднорідного ДР. Правила побудови наведені у таблиці.

степенева частина відсутня		при або     при
показникова функція відсутня (	показникова функція відсутня
лише лише і , і	і , і
тригонометричні функції відсутні (	тригонометричні функції відсутні

 

Приклад 1. Розв’язати задачу Коші: , , .

Розв’язання. Дане рівняння є лінійним однорідним ДР 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Складемо характеристичне рівняння

.

Дискримінант . Отже, рівняння має один дійсний корінь подвійної кратності. Тому загальний розв’язок ДР має вигляд

.

Для знаходження частинного розв’язку скористаємося початковими умовами. Для цього знайдемо :

.

. Отже, .

.

Отже, . Остаточно отримаємо .

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами

.

Розв'язання. . Відповідне лінійне однорідне , характеристичне рівняння , . Тоді загальний розв’язок лінійного однорідного ДР буде .

, . Так як – корінь кратності , то ,

, . . Звідси .

Тоді – загальний розв’язок шуканого рівняння.

Приклад 3. Вказати вигляд (без обчислень коефіцієнтів)частинний розв’язок ЛНДР ..

Розв'язання. . , , , .

 

ЧИСЛОВІ РЯДИ

Нехай нескінченна послідовність чисел. Вираз називається числовим рядом.

Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових сум , де , має кінцеву границю, тобто . Число називається сумою ряду.