Завдання на курсову роботу

КУРСОВА РОБОТА

На тему: „Дослідження двофакторних залежностей ”

з дисципліни "Статистична обробка діагностичних даних"

Виконав: ст. групи

БМ-401з

Філько С.О.

Перевірив___________

Київ 2011

Курсова робота по дисципліні

«Статистична обробка діагностичних даних»

Дослідження двофакторної залежності

Вариант 0

Завдання на курсову роботу

Проводиться класичний експеримент з метою встановлення залежності

у = f (х ₁, х ₂).

Для цього перший фактор змінюється на двох рівнях, а другий – на п’ятьох:

х ₁₁ = 1; х ₂₁ = 5; х ₁₂ = 2; х ₂₂ = 5; х ₃₂=8; х ₄₂ = 11; х ₅₂ = 14.

В результаті проведенного експерименту отримані результати:

Варіанти № досліду

Значення наведені у таблиці за варіантами

№ варіанту
	0,1	0,15	0, 20	0,25	0,30	0,36	0,22	0,28	0,32	0,34

1. Знайти кодовані значення незалежних змінних х ₁і х ₂;

2. Визначити вид передбачуваної моделі у = f (х ₁, х ₂);

3. Побудувати матрицю плану двофакторного експерименту.

4. Визначити оцінки коефіцієнтів поліномів Чебишова.

5. Перевірити їх статистичну значущість. Заповнити таблицю 1.

6. Уточнити вид отриманої моделі зі статистично значущими коефіцієнтами. Заповнити таблицю 2.

7. Перевірити адекватність моделі зі значущими коефіцієнтами.

8. Перейти до моделі у природній системі координат.

9. Побудувати поверхню відгуку.

10. Зробити висновки по роботі.

При пасивному експерименті, на відміну від активного, ми не можемо впливати на хід експериментів (створювати ортогональні плани), але для спрощення процедури обробки даних потрібно забезпечити незалежність знаходження оцінок коефіцієнтів. Із цією метою зручно застосовувати ортогональні поліноми Чебишова.

Як ми вже відзначали, для спрощення процесу обробки й аналізу експериментальних даних необхідно перейти в кодовану систему координат.

Базуючись на кодованих змінні можна записати рівняння регресії з використанням ортогональних поліномів Чебишова , з огляду на, що перший фактор змінюється на двох рівнях, а другий – на п'яти, а також можливі ефекти взаємодій факторів Р ₁(х ₁) Р_j (х ₂)

(1)

де показує ступінь впливу ефекту взаємодій факторів.

На підставі рівняння (1) складається структурна матриця, число стовпців якої відповідає числу шуканих коефіцієнтів, а число рядків - числу дослідів в експерименті.

При складанні матриці варто врахувати, що при проведенні класичного експерименту, що має місце в завданні, план експерименту будується в припущенні, що один фактор фіксує своє значення, при цьому другий фактор приймає всі можливі значення. У нашому випадку, при фіксованому значенні нижнього рівня фактору х ₁ - "мінус" 1, другий фактор х ₂ приймає всі можливі значення (х ₁₂; х ₂₂; х ₃₂; х ₄₂; х ₅₂). Аналогічно, при фіксованому значенні верхнього рівня фактору х ₁ – "плюс" 1, другий фактор також приймає всі можливі значення.

Значення поліномів Чебишова варто взяти для випадку N = 5

;

Значення поліномів доповненої матриці (взаємодії) визначаються за правилом складання доповнень, тобто шляхом перемножування значень відповідних поліномів.

Якщо матриця побудована правильно, то вектори-стовпці побудованої матриці мають властивість симетрії й ортогональності, що дозволяє використовувати стандартну процедуру МНК, відповідно до якої всі коефіцієнти моделі визначаються шляхом послідовного множення елементів відповідного вектора-стовпця вихідної величини з наступним їхнім підсумовуванням і розподілом на суму квадратів елементів цього вектора-стовпця.

P₀	P₁(x₁₎	P₁(x₂)	P₂(x₂)	P₃(x₃)	P₄(x₂)	P₁(x₁)* P₁(x₂)	P₁(x₁)* P₂(x₂)	P₁(x₁)* P₃(x₂)	P₁(x₁)* P₄(x₂)	Y
	-1	-2		-1			-2		-1
	-1	-1	-1		-4			-2
	-1		-2						-6
	-1		-1	-2	-4	-1
	-1					-2	-2	-1	-1
		-2		-1		-2		-1
		-1	-1		-4	-1	-1		-4
			-2				-2
			-1	-2	-4		-1	-2	-4

При застосуванні МНК повинні виконуватися допущення регресійного аналізу, тобто випадкові величини статистично незалежні, мають ту саму дисперсію у всіх точках плану й підкоряються нормальному закону розподілу.

Знайдені оцінки коефіцієнтів відповідно до процедури обробки експериментальних даних варто перевірити на статистичну значущість. Для цього необхідно:

- знайти α _jкр, задавшись рівнем статистичної значимості α = 0,05.

- визначити дисперсії оцінок коефіцієнтів. На відміну від дворівневих планів повного й дробового факторного експерименту в багаторівневих планах умова нормування не виконується: для різних груп коефіцієнтів дисперсія буде різною.

- занести значення , α _jкр, у таблицю 1;

Таблиця 1

Номер коефіцієнта		α _j _кр
	4,9	0,2	0,01	0,1
	-2,3	0,2	0,01	0,1
		0,14	0,005	0,005
	0,36	0,12	0,004	0,07
	0,5	0,14	0,005	0,06
	-0,11	0,16	0,0007	0,07
	0,3	0,14	0,05	0,08
	0,14	0,12	0,004	0,07
	-0,6	0,2	0,01	0,06
	0,01	0,01	0,007	0,01

- висунути нуль-гіпотезу. Якщо |α _j |< α _jкр, то такий коефіцієнт є статистично незначущим і його варто виключити з математичної моделі.

Уточнити вид отриманої моделі з урахуванням статистичної значимості коефіцієнтів, тобто у вираз для ( х ₁, х ₂ ) підставити значення значущих коефіцієнтів α _j і .

Отриману модель перевірити на адекватність. Для цього:

- розрахувати коефіцієнт Фішера, де .=0.56/2=0,28

- Fp=0,/0.1=2.8

При цьому визначити значення , ε _і = | - |, ε², . Отримані результати занести в таблицю 2;

Таблиця 2

№
1	7,13	0,13	0,02
2	9,78	0,12	0,01
3	6,2	0,2	0,04
4	4,48	0,52	0,27
5	8,13	0,3	0,02
6	3,11	0,11	0,01
7	1,86	0,14	0,02
8	1,06	0,06	0,04
9	2,6	0,4	0,16
10	4,1	0,1	0,01
			Σ =0.56

- визначити F_Т при α = 0,05 при f_числ= f_ад і f_знам= f_в; число ступенів вільності

f_ад = N – l,=10-8=2

де l – число статистично значимих коефіцієнтів моделі.

- порівняти F_Т з F_р.

F_Т=4,1

Якщо F_Т > F_р, то з обраним рівнем статистичної значущості отримана модель вважається адекватною й може бути використана для прийняття подальших рішень.

У завдання подальшого дослідження моделі можуть входити відшукування експериментальних точок на поверхні відгуку, одержання кількісних характеристик похибок відгуку залежно від випадкових похибок завдання факторів тощо.

Як було встановлено раніше, аналіз відгуку зручно робити в кодованій системі координат, а потім уже переходити в природну систему координат. Підставивши в рівняння (1) значення поліномів, а також знайдені значення коефіцієнтів одержимо, наприклад

Література

1. Володарский Е.Т., Малиновский Б.Н., Туз Ю.М. Планирование и организация измерительного эксперимента. – Киев: Выща школа, 1987.

2. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул.-М.: Высшая школа, 1982.

3. Бабак В.П., Білецький А.Я., Приставка О.П., Приставка П.О. Статистична обробка даних/ Моногр.-К.:Видавництво МІВВЦ,2001.-388 с.

4. Буриченко М.Ю., Володарський Є.Т.,Кошева Л.О. Статистична обробка діагностичних даних. Лабораторний практикум. Модулі 4-5. –Київ.: НАУ, 2006.-52с.

Додаткова література

1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л. Прикладная статистика: основы моделирования и первичная обработка данных. -М.: Финансы и статистика, 1983 г.

2. Кэндалл М.Дж., Стюарт А. Статистические выводы и связи - М.: Наука, 1973.

3. Смирнов Н.И., Дунин-Барковский И.В. Краткий курс математической статистики для технических приложений.-М.:.: Наука,1969.-512 с.

4. Минцер О.П., Угаров Б.Н., Власов В.В. Методы обработки медицинской информации.-К.: "Вища шк.", 1991.-271 с.