При более детальном анализе трудоемкости алгоритма оказывается, что не всегда количество элементарных операций, выполняемых алгоритмом на одном входе длины N, совпадает с количеством операций на другом входе такой же длины. Это приводит к необходимости введения специальных обозначений, отражающих поведение функции трудоемкости данного алгоритма на входных данных фиксированной длины.
Пусть D А — множество конкретных проблем данной задачи, заданное в формальной системе. Пусть DҒ, D А — задание конкретной проблемы и |D|=N.
В общем случае существует собственное подмножество множества D А, включающее все конкретные проблемы, имеющие мощность N:
- обозначим это подмножество через DN:D N= {DҒ, DN: |D| = N};
- обозначим мощность множества DN через MDN → MDN=|DN |.
Тогда содержательно данный алгоритм, решая различные задачи размерности N, будет выполнять в каком-то случае наибольшее количество операций, а в каком-то случае наименьшее количество операций. Введем следующие обозначения:
1. F α ^(N) - худший случай - наибольшее количество операций, совершаемых алгоритмом А для решения конкретных проблем размерностью N:
F α ^(N) = max { F α (D)}
DDN -худший случай на DN.
2. F α 
(N) - лучший случай - наименьшее количество операций, совершаемых алгоритмом А для решения конкретных проблем размерностью N:
Fa (N) = min {Fa (D)}
DDN - лучший случай на DN
3. 
α(N) - средний случай - среднее количество операций, совершаемых алгоритмом А для решения конкретных проблем размерностью N:
a(N)=(1/MDN}·Σ{Fa(D)}
DÎDN - средний случай на DN
3. Классификация алгоритмов по виду функции трудоёмкости
В зависимости от влияния исходных данных на функцию трудоемкости алгоритма может быть предложена следующая классификация, имеющая практическое значение для анализа алгоритмов:
1. Количественно-зависимые по трудоемкости алгоритмы
Это алгоритмы, функция трудоемкости которых зависит только от размерности конкретного входа, и не зависит от конкретных значений:
Fa(D) = Fa (|D|)= Fa(N)
Примерами алгоритмов с количественно-зависимой функцией трудоемкости могут служить алгоритмы для стандартных операций с массивами и матрицами - умножение матриц, умножение матрицы на вектор и т.д.
2.Параметрически-зависимые по трудоемкости алгоритмы
Это алгоритмы, трудоемкость которых определяется не размерностью входа (как правило, для этой группы размерность входа обычно фиксирована), а конкретными значениями обрабатываемых слов памяти:
Fa(D) = Fa(d1,..,dn) = Fa(P1,..,Pm),m=<n
Примерами алгоритмов с параметрически-зависимой трудоемкостью являются алгоритмы вычисления стандартных функций с заданной точностью путем вычисления соответствующих степенных рядов. Очевидно, что такие алгоритмы, имея на входе два числовых значения - аргумент функции и точность выполняют существенно зависящее от значений количество операций.
а) Вычисление xkпоследовательным умножением Þ Fa(x,k) = Fa(k).
б) Вычисление e x=Σ(x-n/n!), с точностью до ξ => Fa= Fa(х,ξ)
3. Количественно-параметрические по трудоемкости алгоритмы
Однако в большинстве практических случаев функция трудоемкости зависит как от количества данных на входе, так и от значений входных данных, в этом случае:
Fa(D) = Fa(||D||,P1,..,Pm)=Fa(N,P1,..,Pm)
В качестве примера можно привести алгоритмы численных методов, в которых параметрически-зависимый внешний цикл по точности включает в себя количественно-зависимый фрагмент по размерности.
3.1 Порядково-зависимые по трудоемкости алгоритмы
Среди разнообразия параметрически-зависимых алгоритмов выделим еще оду группу, для которой количество операций зависит от порядка расположения исходных объектов.
Пусть множество D состоит из элементов (d1,...,dn), и ||D||=N,
Определим Dp = {(d1,...,dn)}-множество всех упорядоченных N-ок из d1,...,dn, отметим, что |Dp|=n!.
Если Fa(iDp)≠Fa(jDp), где iDp, jDp, ғDp, то алгоритм будем называть порядково-зависимым по трудоемкости.
Примерами таких алгоритмов могут служить ряд алгоритмов сортировки, алгоритмы поиска минимума и максимума в массиве. Рассмотрим более подробно алгоритм поиска максимума в массиве S, содержащим n элементов:
MaxS(S,n; Мах)
Max← S1
For i←2 to n
If Max <Si
Then Max←Si
(количество выполненных операций присваивания зависит от порядка следования элементов массива)
