Свойства степеней
Основные свойства степеней с целым показателем:
am *an = a(m+n);
am: an = a(m-n) (при a не равном нулю);
(am)n = a(m*n);
(a*b)n = an *bn;
(a/b)n = (an)/(bn) (при b не равном нулю);
a1 = a;
a0 = 1 (при a не равном нулю);
Эти свойства будут справедливы для любых чисел a, b и любых целых чисел m и n. Стоит отметить также следующее свойство:
Если m>n, то am > an, при a>1 и am
Можно обобщить понятие степени числа на случаи, когда в качестве показателя степени выступают рациональные числа. При этом хотелось бы, чтобы выполнялись все выше перечисленные свойства или хотя бы часть из них.
Например, при выполнении свойства (am)n = a(m*n) выполнялось бы следующее равенство:
(a(m/n))n = am.
Это равенство означает, что число a(m/n) должно являться корнем n-ой степени из числа am.
Степенью некоторого числа a (большего нуля) с рациональным показателем r = (m/n), где m – некоторое целое число, n – некоторое натурально число большее единицы, называется число n√(am). Исходя из определения: a(m/n) = n√(am).
Для всех положительных r будет определена степень числа нуль. По определению 0r = 0. Отметим также, что при любом целом, любых натуральных m и n, и положительном а верно следующее равенство: a(m/n) = a((mk)/(nk)).
Например: 134(3/4) = 134(6/8) = 134(9/12).
Из определения степени с рациональным показателем напрямую следует тот факт, что для любого положительного а и любого рационального r число ar будет положительным.
Тождественные преобразования выражений, содержащих степень с рациональным показателем.
Степени с действительными показателями
Пусть дано положительное число 
и произвольное действительное число 
. Число 
называется степенью, число — основанием степени, число — показателем степени.
По определению полагают:
-
. -
. -
, 
.
Если и 
— положительные числа, 
и 
— любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Свойства степени с действительным показателем
Свойства степени с действительным показателем
На степени с действительными показателями переносятся все свойства степеней с рациональными показателями.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
при любом действительном x,
8) пусть 
Если 
то 
если 
то 
Понятие логарифма числа
Логарифмом числа
B по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получилось число b.
Обозначение:
log a b.
Читаем: "логарифм от b по основанию a ".
Основное логарифмическое тождество
Это основное логарифмическое тождество.
Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм – это показатель степени (n), то, возводя в эту степень число а, получим число b.
Основные свойства логарифмов
Основные свойства логарифмов
