Свойства степени с рациональным показателем

Свойства степеней

Основные свойства степеней с целым показателем:

a^m *aⁿ = a^(m+n);

a^m: aⁿ = a^(m-n) (при a не равном нулю);

(a^m)ⁿ = a^(m*n);

(a*b)ⁿ = aⁿ *bⁿ;

(a/b)ⁿ = (aⁿ)/(bⁿ) (при b не равном нулю);

a¹ = a;

a⁰ = 1 (при a не равном нулю);

Эти свойства будут справедливы для любых чисел a, b и любых целых чисел m и n. Стоит отметить также следующее свойство:

Если m>n, то a^m > aⁿ, при a>1 и a^m

Можно обобщить понятие степени числа на случаи, когда в качестве показателя степени выступают рациональные числа. При этом хотелось бы, чтобы выполнялись все выше перечисленные свойства или хотя бы часть из них.

Например, при выполнении свойства (a^m)ⁿ = a^(m*n) выполнялось бы следующее равенство:

(a^(m/n))ⁿ = a^m.

Это равенство означает, что число a^(m/n) должно являться корнем n-ой степени из числа a^m.

Степенью некоторого числа a (большего нуля) с рациональным показателем r = (m/n), где m – некоторое целое число, n – некоторое натурально число большее единицы, называется число n√(a^m). Исходя из определения: a^(m/n) = n√(a^m).

Для всех положительных r будет определена степень числа нуль. По определению 0^r = 0. Отметим также, что при любом целом, любых натуральных m и n, и положительном а верно следующее равенство: a^(m/n) = a^((mk)/(nk)).

Например: 134^(3/4) = 134^(6/8) = 134^(9/12).

Из определения степени с рациональным показателем напрямую следует тот факт, что для любого положительного а и любого рационального r число a^r будет положительным.

Тождественные преобразования выражений, содержащих степень с рациональным показателем.

Степени с действительными показателями

Пусть дано положительное число и произвольное действительное число . Число называется степенью, число — основанием степени, число — показателем степени.

По определению полагают:

Если и — положительные числа, и — любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

Свойства степени с действительным показателем

Свойства степени с действительным показателем
На степени с действительными показателями переносятся все свойства степеней с рациональными показателями.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7) при любом действительном x,
8) пусть Если то если то