Производные основных элементарных функций 1 страница

1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.
12.	12.
13.	13.
14.	14.

Задачи 11-20

Найти производные заданных функций:

При вычислении производных нужно пользоваться приведенной выше таблицей производных.

Решение.

Воспользуемся формулами:

где

Тогда

Воспользуемся формулами:

где

Тогда

в)

Данную функцию можно записать в виде степенной функции:

, где

И, следовательно

Заметим, что

Значит,

Тогда

Данную функцию можно записать как: , где

Тогда

Для отыскания последней производной применим формулу:

Значит,

Воспользуемся формулами:

Задачи 21 -30

Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

Решение. Исследование будем проводить по следующей схеме:

1. Область определения функции.

В нашем примере это множество всех действительных чисел, то есть

2. Четность и нечетность функции:

Видим, что и , значит, функция

свойствами четности или нечетности не обладает.

Делаем вывод, что график функции не будет симметричен ни относительно оси , ни относительно начала координат.

3.Периодичность функции.

Данная функция не является периодической, как многочлен.

4.Непрерывность функции.

На всей области определения данная функция является непрерывной как многочлен.

5.Поведение функции на концах области определения.

Концами области определения являются «-∞» и «», так как .

Найдем пределы функции при

Таким образом, знак бесконечности определяется знаком старшего члена . Это означает, что слева график функции уходит неограниченно вниз, а справа - неограниченно вверх

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем точки «подозрительные» на экстремум. Согласно необходимого условия экстремума: в точках

экстремума производная равна нулю или не существует.

Находим производную: . Она существует при любых х. Решим уравнение :

; ;

; .

Тогда можно записать: .

Точки х=2 и х=4 являются критическими. Они делят область определения на интервалы монотонности функции (интервалы возрастания и убывания). Изобразим их на числовой оси (рис.6).

Это интервалы (-∞; 2);(2;4);(4;+∞).

Рис.6

Поведение функции на каждом интервале определяется знаком производной : если <0, то функция убывает, если >0, то функция возрастает.

Для определения знака производной на каждом интервале достаточно взять любое значение х из этого интервала и подставить в производную = 3(х-2)(х-4).

а) На интервале (-∞; 2), возьмем любое х, например х=0, и подставим в производную .Получили , следовательно функция возрастает на интервале (-∞; 2).

б) На интервале (2;4) возьмем х=3, подставим в выражение для , получим (3)=3(3-2)(3-4)<0, следовательно, на интервале(2;4) функция убывает.

в) На интервале (4;+∞) возьмем х=5,видим, что (5)= 3(5-2)(5-4)>0, следовательно, на интервале (4;+∞) функция возрастает.

Знаки производной проставлены на рис. 6 около каждого интервала.

Замечаем, что при переходе через точку х=2 производная меняет знак, с (+) на (-). Это означает, что в точке х=2 функция имеет максимум (на основании достаточного условия существования экстремума). Найдем значение у при х=2:

Значит, точка максимума (2; 4).

При переходе через точку х=4 производная меняет знак с (-) на (+). Это означает, что при х=4 функция имеет минимум:

Точка минимума (4;0).

7. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Это исследование проводится с помощью второй производной

Найдем точки, подозрительные на перегиб, используя необходимое условие перегиба: в точках перегиба вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Так как , то существует при любых х. Приравняем вторую производную к нулю и найдем корни уравнения

6х -18=0. Отсюда х=3 - точка, подозрительная на перегиб.

Точка х=3 делит область определения (-∞; +∞) на интервалы: (-∞;3) и (3;+∞) (рис.7).


	-	+
		x

Рис. 7

Определим знаки второй производной на этих интервалах.

Если на интервале >0, то график вогнутый, если <0, то график выпуклый (на основании достаточного условия выпуклости и вогнутости).

а) На интервале (-∞;3) возьмем, например, х=1, подставим во вторую производную у"=6(х-3), получим , значит, при график функции выпуклый.

б) На интервале (3;+∞) берем, например, х=5, подставим в ,получим (5) = 6(5-3)>0, значит, при х€(3;+∞) график функции вогнутый.

Знаки проставлены на рис. 7 около каждого интервала.

Так как при переходе через точку х=3 вторая производная у" меняет знак, то график меняет выпуклость на вогнутость, то есть при х=3 график функции имеет перегиб.

Точка перегиба (3;2).

8.Точки пересечения графика с осями координат. С осью Оу: полагаем х=0 и, подставляя это значение в данную функцию у, находим у =-16; получим точку (0;-16). С осью Ох: полагаем у=0, находим х из уравнения

х³-9х²+24х-16=0. (*)

Кубическое уравнение имеет хотя бы один действительный корень, попробуем найти его подбором.

Корни уравнения являются делителями свободного члена 16. Следовательно, попробуем подставлять в уравнение (*) числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16.

При х=1: получаем 1-9+24-16=0, следовательно, х₁=1 является корнем уравнения (*). Тогда многочлен х³-9х²+24х-16 делится на (х-1) без остатка.

После деления в частном получится многочлен второй степени:

_ х³-9х²+24х-16 | х-1.

х³-х² |х²-8х+16

_-8х²+24х-16

- 8х²+8х

_16х-16

16х-16

Каждое слагаемое частного получается делением старшего члена делимого на старший член делителя:х³:х = х² (х² записываем в частное); умножаем (х-1) на х² и вычитаем из делимого. С остатком поступаем аналогично: -8х²:х = -8х (записываем в частное), умножаем (х-1) на (-8х) и вычитаем из остатка и т.д.

Итак, х³-9х²+24х-16 = (х-1)(х²-8х+16). Для отыскания остальных корней х₂ и х₃ решим уравнение х²-8х+16 =0, откуда получим .

Окончательно: х³-9х²+24х-16 = (х-1)(х-4)².

Уравнение (*) принимает вид: (х-1)(х-4)(х-4)=0, откуда х,=1; х₂=4; х₃=4.

Таким образом, график функции пересекает ось ОХ в точках (1;0) и (4;0).

9. Дополнительные точки. Для более точного построения графика можно найти несколько дополнительных точек. Например, найдем у при х=5:

. Получим точку К(5;4).

Выпишем результаты исследования функции у = х³-9х²+24х-16.

1. Область определения (-∞; +∞).

3. Функция возрастает при

Функция убывает при .

4.Точка max А (2;4), точка min В (4;0).

5. При - график выпуклый,

при - график вогнутый.

6.Точка перегиба С(3;2)

7.Точки пересечения с осями координат:(1;0), (4;0),(0;-16).

8.Дополнительная точка К (5;4).

Строим график функции (рис.8). Прежде всего построим все характерные точки, точки пересечения с осями, точки экстремумов, точку перегиба и дополнительные точки.

Рис.8

В силу непрерывности функции соединим все построенные точки плавной кривой, продолжив график влево и вправо согласно поведению функции на концах области определения.

Задачи 31-40

Вычислить приближенное значение , заменяя приращение функции дифференциалом, если n = 6,

а =60.

Решение: Нужно вычислить приближенно .

Приращение функции в точке : .

Дифференциал функции в точке : .

При малых : или

Отсюда получаем общую формулу для приближенных вычислений: , где .

В нашей задаче , где .

Найдем производную функции

Приближенное равенство для функции будет иметь вид:

Здесь , в качестве выберем число 64, оно ближайшее , из которого точно извлекается корень шестой степени:

Следовательно, . Подставляя в последнюю приближенную формулу , , найдем нужный результат:

Ответ:

Задачи 61-70 относятся к теме "Функции нескольких переменных". Для решения этих задач необходимо познакомиться со следующими вопросами названной темы:

1. Определение функции двух переменных, область определения функции, геометрическое изображение функции двух переменных.

2. Определение частных производных первого порядка для функции двух переменных, их вычисление.

3. Полный дифференциал функции двух переменных.

4. Производные высших порядков для функции двух переменных.

5. Определение локальных экстремумов для функции двух переменных.

6. Необходимое и достаточное условия экстремума для функции двух переменных.

7. Правило исследования на экстремум для функции двух переменных.

Задачи 41-50

Найти полный дифференциал функции двух переменных

Решение. Полный дифференциал функции двух переменных находим по формуле:

где ; --частные производные данной функции z.

Частные производные находим по обычным формулам дифференцирования для функции одной переменной, причем находим, считая «у» постоянной величиной; аналогично при отыскании считаем «х» постоянным:

Отсюда полный дифференциал функции:

Задачи 51-60 и 61-70 относятся к теме «Интегральное исчисление». Ознакомьтесь с основными вопросами этой темы:

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

2. Основные свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица интегралов.

4. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, интегрирование подстановкой, интегрирование по частям.

5. Интегрирование некоторых рациональных дробей.

6. Понятие определенного интеграла и его основные свойства.

7. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

8. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

9. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

Интегрирование есть операция, обратная дифференцированию. ∫f(x)dx = F(x)+C, где F(х)-первообразная для подынтегральной функции f(x), то есть , а С - произвольная постоянная. При интегрировании часто используют свойства неопределенного интеграла:

Идея интегрирования заключается в том, чтобы свести данный интеграл к одному из табличных интегралов. Поэтому, приступая к решению задач, ознакомьтесь с таблицей интегралов.

1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.
12.	12.
13.	13.
14.	14.
15.	15.
16.	16.