Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции в рассматриваемых позиционных системах счисления выполняются по законам, известным из десятичной арифметики. Двоичная система счисления имеет основание 2, и для записи чисел используются всего две цифры 0 и 1 в отличие от десяти цифр десятичной системы счисления. Рассмотрим сложение одноразрядных чисел: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=0. Эти равенства справедливы как для двоичной системы, так и для десятичной системы. Чему же равно 1+1? В десятичной системе это 2. Но в двоичной системе нет цифры 2! Известно, что при десятичном сложении 9+1 происходит перенос 1 в старший разряд, так как старше 9 цифры нет. То есть 9+1=10. В двоичной системе старшей цифрой является 1. Следовательно, в двоичной системе 1+1=10, так как при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда значение числа в нем становится равным или большим основания. Для двоичной системы это число равно 2 (102=210).

Продолжая добавлять единицы, заметим: 102+1=112, 112+1=1002 - произошла "цепная реакция", когда перенос единицы в один разряд вызывает перенос в следующий разряд. Сложение многоразрядных чисел происходит по этим же правилам с учетом возможности переносов из младших разрядов в старшие. Вычитание многоразрядных двоичных чисел производится с учетом возможных заёмов из старших разрядов. Действия умножения и деления чисел в двоичной арифметике можно выполнять по общепринятым для позиционных систем правилам.

В основе правил арифметики любой позиционной системы лежат таблицы сложения и умножения одноразрядных чисел.

Для двоичной системы счисления:

Аналогичные таблицы составляются для любой позиционной системы счисления. Пользуясь такими таблицами, можно выполнять действия над многозначными числами.

Пример 4. Выполнить действия в пятеричной системе счисления: 3425+235; 2135.55.

Решение

Составим таблицы сложения и умножения для пятеричной системы счисления:

Выполним сложение. Рассуждаем так: два плюс три равно 10 (по таблице); 0 пишем, 1 - в уме. Четыре плюс два равно 11 (по таблице), да еще один, 12. 2 пишем, 1 - в уме. Три да один равно 4 (по таблице). Результат - 420.

Выполним умножение. Рассуждаем так: трижды три - 14 (по таблице); 4 пишем, один - в уме. Трижды один дает 3, да плюс один, - пишем 4. Дважды три (по таблице) - 11; 1 пишем, 1 переносим влево. Окончательный результат - 1144. Если числа, участвующие в выражении, представлены в разных системах, нужно сначала привести их к одному основанию.

Пример 5. Сложить два числа: 178 и 1716.

Решение Приведем число 1716 к основанию 8 посредством двоичной системы (пробелами условно обозначено деление на тетрады и триады): 1716=101112=101112=278.Выполним сложение в восьмеричной системе:

Сделаем проверку, выполнив те же действия в десятичной системе:

Пример 6. Вычислить выражение, записав результат в двоичной системе счисления.

Решение

Приведем числа, участвующие в выражении, в единую систему счисления, например, десятичную:

Выполним указанные действия:

23-81/27=2010.

Запишем результат в двоичной системе счисления: 2010=101002.

Таким образом, арифметические действия в позиционных системах счисления выполняются по общим правилам. Необходимо только помнить, что перенос в следующий разряд при сложении и заем из старшего разряда при вычитании определяются величиной основания системы счисления.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое система счисления? Алгоритм перевода из десятичной в недесятичную систему счисления. Примеры.
2. Что такое позиционная система счисления? Алгоритм перевода из недесятичной в десятичную систему счисления. Пример. Суммирование в недесятичной системе счисления. Примеры.
3. Что такое непозиционная система счисления? Умножение и деление в недесятичной системе счисления. Примеры.
4. Понятие позиционной системы счисления. Унарная, фибоначиева и другие системы счисления (вопрос необязательный)