Лекции.Орг


Поиск:




Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами




В этой статье мы разберем принципы решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами , где p и q – произвольные действительные числа. Сначала остановимся на теории, далее применим полученные результаты в решении примеров и задач.

Если Вам будут встречаться незнакомые термины, то обращайтесь к разделу определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

Сформулируем теорему, которая указывает, в каком виде находить общее решение ЛОДУ.

Теорема.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами определяется линейной комбинацией , где - линейно независимые частные решения ЛОДУ на X, а - произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид y0=C1⋅y1+C2⋅y2, где y1 и y2 – частные линейно независимые решения, а С1 и C2 – произвольные постоянные. Осталось научиться находить частные решения y1 и y2.

Эйлер предложил искать частные решения в виде .

Если принять частным решением ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами , то при подстановке этого решения в уравнение мы должны получить тождество:

Так мы получили так называемое характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решения k1 и k2 этого характеристического уравнения определяют частные решения и нашего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

В зависимости от коэффициентов p и q корни характеристического уравнения могут быть:

  1. действительными и различными ,
  2. действительными и совпадающими ,
  3. комплексно сопряженной парой .

В первом случае линейно независимыми частными решениями исходного дифференциального уравнения являются и , общее решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами есть .

Функции и действительно линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля для любых действительных x при .

Во втором случае одним частным решением является функция . В качестве второго частного решения берется . Покажем, что действительно является частным решением ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и докажем линейную независимость y1 и y2.

Так как k1 = k0 и k2 = k0 совпадающие корни характеристического уравнения, то оно имеет вид . Следовательно, - исходное линейное однородное дифференциальное уравнение. Подставим в него и убедимся, что уравнение обращается в тождество:

Таким образом, является частным решением исходного уравнения.

Покажем линейную независимость функций и . Для этого вычислим определитель Вронского и убедимся, что он отличен от нуля.

Вывод: линейно независимыми частными решениями ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами являются и , и общее решение есть при .

В третьем случае имеем пару комплексных частных решений ЛОДУ и . Общее решение запишется как . Эти частные решения могут быть заменены двумя действительными функциями и , соответствующими действительной и мнимой частям. Это хорошо видно, если преобразовать общее решение , воспользовавшись формулами из теории функции комплексного переменного вида :

где С3 и С4 – произвольные постоянные.

Итак, обобщим теорию.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-11-05; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 458 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Логика может привести Вас от пункта А к пункту Б, а воображение — куда угодно © Альберт Эйнштейн
==> читать все изречения...

789 - | 787 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.01 с.