Пусть 
— некоторая функция, 
— ее производная. Для удобства будем записывать производную виде 
, имеющем смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал 
— приращение значения переменной в окрестности 
, стремящееся к нулю. Дифференциал функции 
— малое приращение функции, 
. Пусть 
и 
— некоторые функции от и 
. Рассмотрим уравнение
.
Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на 
:
.
Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при 
и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от 
до для левой части и от 
для для правой части уравнения:
.
Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить .
Значения и называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных — 
, где 
— первообразная , 
— произвольная постоянная, запишем это в виде
.
Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные , удовлетворяющие уравнению 
. При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).
2.3)
(О существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть 
- непрерывная функция в области 
, причем 
- также непрерывен в 
. Тогда для любой точки 
задача Коши: 
имеет решение, причем единственное в том смысле, что если есть 2 ее решения 
и 
, определенные на интервалах 
и 
, содержащих точку 
, то они совпадают на пересечении 
этих интервалов.
Теорему оставим без доказательства.
Замечание. Говорят, что решение 
дифференциального уравнения на интервале 
есть продолжение решения 
на 
, если 
и 
на . Также говорят, что решение 
- максимальное или непродолжаемое относительно , если не обладает продолжениями, целиком лежащими в .
На основании этого замечания можно сказать, что при условиях теоремы существует единственное максимальное (непродолжаемое) решение задачи Коши.
Геометрический смысл сформулированной теоремы состоит в следующем. Левая часть уравнения 
представляет собой 
- тангенс угла наклона касательной к графику искомой функции в точке 
, а правая часть 
задает его численное значение в этой точке. Поэтому можно считать, что уравнение задает поле направлений на области , т.е. к каждой точке 
прикреплен вектор, указывающий направление касательной к искомой интергальной кривой.
2.3)
