Приприменении ЭОР в учебном процессе, целесообразно разбивать учебный курс на отдельные небольшие законченные модули, которые будут изучаться в определенном порядке. Соответственно возникает необходимость провести структуризацию набора модулей учебного курса.
Структуризация учебных курсов основывается на связности основных компонентов различных модулей: понятий и компетенций.
Понятие можно определить как смысловую единицу, которая не может быть разбита на более мелкие смысловые единицы в рамках данного курса.
Компетенция же определяет возможность применения на практике какого-либо набора изученных понятий.
Проведение структуризации электронных образовательных ресурсов по учебным циклам позволяет применить модульно-компетентностный подход при изучении статистики.
Рис. 7. Применение модульно-компетентностного подхода
Для реализации модульно-компетентностного подхода структуризации учебно-методических материалов дисциплины с татистика в системе ЭОР предлагается для каждого модуля задавать граф связности понятий этого модуля (как входных, т.е. тех, которые требуются для изучения данного модуля, так и выходных, изучаемых в модуле). Граф строится на основе матрицы смежности этих понятий. Выходные понятия практических и контрольных модулей могут быть как обычными понятиями, так и компетенциями.
Рис. 8. Граф связности понятий модуля
После объединения модулей в учебный курс для него строится объединенный граф связности понятий и компетенций, определяющих владение набором понятий (мультиграф из графов отдельных модулей).
Затем строится нагруженный граф связности модулей учебного курса (нагруженность ребра определяет количество понятий, которые связывают 2 смежных модуля).
Рис. 9. Граф связности модулей учебного курса статистики, состоящий
из 9 отдельных модулей
Формализованное описание полученного набора графов выглядит следующим образом: G = <P, K, M(P,K)>, где P – понятия, K – компетенции, M(P,K) – модули, включающие в себя изучение некоторых понятий либо овладение некоторыми компетенциями.
, 
, 
При этом среди понятий каждого учебного цикла можно выделить 2 вида крайних понятий:
· базовые, которые необходимо знать до изучения данного цикла;
· результирующие, изучение которых не требуется для изучения каких-либо других понятий.
Критерии оценки графов связности позволяют оценить качество структуризации каждого учебного цикла дисциплины для построения на его основе индивидуальных траекторий обучения:
1. Среднее взвешенное количество понятий (c) в модулях. k1=S1..n(a*Scвх+Scвых)/n, где коэффициент aÎ[0..1], n –количество модулей (вершин) в графе.
2. Средняя высота графа связности понятий модуля в ярусно-параллельной форме (ЯПФ).
k2=S1..nhi/n, где hi –высота графа связности i-го модуля, представленного в ЯПФ.
3. Среднее количество понятий, необходимых для изучения данного понятия.
k3=Si=1..mcij/с, где cij – понятие, необходимое для изучения j-го понятия, с – количество понятий во всех модулях.
4. Число вершинной связности графа (min количество модулей, без которых граф станет несвязным).
k4=min(maxFlow). Значение критерия вычисляется по алгоритму Эдмондса-Карпа о нахождении max потока (по теореме Менгера, для любых двух вершин наибольшее число вершинно-непересекающихся простых цепей, соединяющих их, равно наименьшему числу вершин, разделяющих эти вершины, т.е. min из всех max потоков ненагруженного графа равен числу вершинной связности графа).
5. Диаметр графа (max длина траектории обучения).
k5=max(max(lij)), где lij – кратчайшее расстояние от i-ой вершины (модуля) до j-ой.
6. Реберная плотность графа (относительно полносвязного графа). k6=2*r/(n(n-1)), где r –количество ребер (связей).
7. Средняя кратность дуг (количество связанных понятий).
k7=c/r, где с – количество понятий во всех модулях.
8. Количество кратных понятий. Определяет количество траекторий обучения. k8=max(Si,j(сi=сj)).
При этом оптимальными для этих критериев являются следующие значения:
1. В критерии k1 целесообразно оценивать только выходные понятия (cвых), т.е. a = 0.
k1 optÎ[3, 7], т.к. согласно психофизиологическим особенностям памяти человека, он в среднем способен одновременно запоминать не более 7 понятий в рамках одного модуля. В то же время рекомендуется группировать понятия в блоки по 3 элемента для ассоциативного запоминания.
2. k2 optÎ[2, 7]. k2 opt не больше 7 аналогично с k1 и не меньше 2, т.к. понятия в модулях должны быть связаны между собой.
3. k3 optÎ[1, 6], т.к. в среднем цепочка должна быть связной, но не слишком длинной (<7).
4. k4 optÎ[2, 0.9*(n-1)], т.е. цикл не должен содержать узких мест, которые изучаются только в одном модуле (без вариативов), но и граф не должен быть полносвязным.
5. k5 opt <= T/t, где T – время, отведенное на изучение цикла, t – среднее время, отведенное на изучение модуля. То есть длина траектории обучения должна соответствовать времени, отведенному на изучение цикла.
6. k6 opt → max, т.к. малосвязный граф не позволяет создавать много траекторий обучения.
7. k7 opt → max, т.к. большая связанность модулей повышает ассоциативную запоминаемость понятий.
8. k8 opt → max, т.к. большее количество траекторий обучения делает курс более адаптивным, т.е. позволяет создавать индивидуальные траектории.
Для проведения многокритериальной оптимизации можно использовать метод последовательных уступок
Формализованное описание функции оптимизации будет иметь следующий вид:
Fopt (n,r,c,t,T)= (k1 opt, k2 opt, k3 opt, k4 opt, k5 opt, k6 opt, k7 opt, k8 opt),
где n – количество модулей, r – количество ребер, c – количество понятий,
t – среднее время, отведенное на изучение одного модуля, T – количество часов, отведенных на цикл (при этом учебный курс в зависимости от учебного плана изучения дисциплины может быть 56 часов, 112 часов либо 206 часов).
Согласно выбранному методу процесс оптимизации проводится для всех критериев по очереди, начиная с наиболее важных k1 и k6.
Сначала в зависимости от r, приняв n = 50, max(r/c) = 7, T = 144, затем по очереди в зависимости от остальных параметров.
Статистическое моделирование набора случайных графов в математическом пакете Mathcad при заданных параметрах (отсутствие циклов в графе связности) показывает, что значения критериев, наиболее близкие к оптимальным, достигаются при следующих значениях параметров:
· количество ребер r = 2/3*n* (1-(n-13)/n);
· max нагруженность ребер max(r/c)=2;
Рис. 10. Оценка критериев в зависимости от количества модулей
Как видно из графика значения k1, k2, k3 и k7 остаются оптимальнымипри любом количестве модулей и практически не изменяются при 20 и более модулях. Значения k4 и k6 уменьшаются при увеличении количества модулей, что естественно, т.к. иначе бы в каждом модуле было бы слишком много понятий. Критерий k5 увеличивается при увеличении количества модулей, но он не должен превышать количества часов отведенных на курс.
Граф связности модулей, наиболее приближенный к оптимальным значениям критериев его оценки, должен иметь ребра, нагруженностью не более 2, и содержать в среднем 6,5 выходных понятий в каждом модуле.
11.4. Индивидуальная образовательная траектория обучения
Для построения индивидуальной образовательной траектории обучения дисциплине Статистика предварительно проводится входное тестирование, определяющее владение необходимыми компетенциями. По результатам входного тестирования определяется, какие понятия и компетенции должны входить в индивидуальную траекторию обучения.
На основании правильно структуризированного графа связности каждого учебного цикла дисциплины, рубрикатора по предмету, выбранных элементов из структуры метаданных модулей, а также результатов входного тестирования строится индивидуальная образовательная траектория обучения.
В случае, если обучаемый не знает какие-либо необходимые базовые понятия, строится ретроспективная траектория обучения, включающая эти понятия.
Рис. 11. Автоматическая генерация индивидуальной траектории обучения
Формализованное описание индивидуальной траектории обучения имеет следующий вид: S = <P, K, V, T, M(P, K, V, T), R>, где
P – понятия, K – компетенции, V – вариативы модулей, T – время на изучение модуля, M – модули, R – рубрикатор по дисциплине Статистика (граф-дерево подтем).
