A, B, C :
1. .
) A È B = B È A ( );
) A Ç B = B Ç A ( ).
2. .
) A È (B È C) = (A È C) È C ( );
) A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C ( ).
3. .
) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C) ( );
) A Ç(B È C) = (A Ç B)È(A Ç C) ( ).
4. .
) = Ç ( );
) = È ( ).
5. .
) A È A = A ( );
) A Ç A = A ( ).
6. .
) A È (A Ç B) = A;
) A Ç (A È B) = A.
7. ().
) (A È B) Ç (A È ) = A;
) (A Ç B) È (A Ç ) = A.
8. .
= A.
9. .
A È = U.
10. .
) A È U = U;
) A È Æ = A;
) A Ç U = A;
) A Ç Æ = Æ;
) = U;
) = Æ.
11. \ = A Ç .
A = B, , , -, x Î , x Î , -, x Î , x Î . , , ( 3)):
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C).
1. , x , .. x Î A È (B Ç C), , x , .. x Î(A È B) Ç (A È C).
, x Î A È (B Ç C). x Î A, x Î B Ç C. .
x Î A. x Î A È B x Î A È C ( B C). , x Î(A È B) Ç (A È C).
2. , x , .. x Î (A È B) Ç (A È C), , x , .. x Î A È (B Ç C).
, x Î (A È B) Ç (A È C). x Î A È B, x Î A È C. x Î A È B, x Î A, x Î B, . x Î A È C, x Î A, x Î C. x Î A, x Î A È (B Ç C) . x Ï A, x Î B x Î C, .. x Î B Ç C. x Î B Ç C x Î A È (B Ç C), .
|
|
.
.
1.14.
(A È B) \ = A Ç .
, 11:
(A È B) \ = (A È B) Ç .
( 3):
(A È B) Ç = A Ç È B Ç .
( 9):
B Ç = Æ.
A Ç È B Ç = A Ç È Æ.
( 10):
A Ç È Æ = A Ç .
.
1.15.
:
A \ ( \ C) = (A \ )È (A Ç C).
, , (. 1.2).
. 1.2
. 1.2 ) . 1.2 ) A \ ( \ C) (A \ )È (A Ç C).
, :
\ = A Ç , = È , = A, A Ç(B È C) = (A Ç B)È(A Ç C).
:
A \ ( \ C) = A Ç = A Ç = A Ç ( È ) = A Ç ( È C) = (A Ç ) È (A Ç C) = (A \ )È (A Ç C).
.
1.16.
:
(A È B) Ç ( È B) Ç (A È ).
( 1), :
(A È B) Ç ( È B) Ç (A È ) = (A È B) Ç (A È ) Ç ( È B).
( 7) :
(A È B) Ç (A È ) Ç ( È B) = A Ç ( È B).
( 3):
A Ç ( È B) = A Ç È A Ç B.
( 9):
A Ç = Æ.
A Ç È A Ç B = Æ È A Ç B.
( 10):
Æ È A Ç B = A Ç B.
,
(A È B) Ç ( È B) Ç (A È ) = A Ç B.
1.2. A B B A, , A B . A B .
: A ~ B.
.
A ~ B B ~ C, A ~ C.
. A ~ B, a Î b Î B. B ~ C, b Î B c Î C. a Î . , a Î c Î C c Î C a Î . , A ~ C.
|
|
, , . , = {4, 5, 6} = { x, y, z } , A ~ B. 4 x, 5 y, 6 z.
( ç ç) . , = {1, 2} ç ç= 2.
1.17.
(. 1.1) , - P (A). P (A) 2 n . , ç P (A) ç = 2 n.
n .
n = 2 A B . :
ç È B ç= ç ç+ ç B ç ç Ç B ç. (1.1)
. 1.3 ,
ç È B ç= n 1+ n 2+ n 3;
ç ç= n 1+ n 2;
ç B ç= n 2+ n 3;
ç Ç B ç= n 2.
. 1.3
, n 1+ n 2+ n 3 = (n 1+ n 2) +(n 2+ n 3) n 2, ().
(1.1) , A B .
ç È B ç= ç ç+ ç B ç.
n = 3 A, B . :
ç È B È ç= ç ç+ ç B ç+ ç C ç ç Ç B ç ç Ç C ç ç B Ç C ç+ ç Ç B Ç C ç. (1.2)
. 1.4 ,
ç È B È ç= n 1+ n 2+ n 3+ n 4+ n 5+ n 6+ n 7;
ç ç= n 1+ n 2+ n 4+ n 5;
ç B ç= n 2+ n 3+ n 5+ n 6;
ç ç= n 4+ n 5+ n 6+ n 7;
ç Ç B ç= n 2+ n 5;
ç Ç C ç= n 4+ n 5;
ç B Ç C ç= n 5+ n 6;
ç Ç B Ç C ç= n 5.
. 1.4
,
n 1+ n 2+ n 3+ n 4+ n 5+ n 6+ n 7 =(n 1+ n 2+ n 4+ n 5) + (n 2+ n 3+ n 5+ n 6) +(n 4+ n 5+ n 6+ n 7) (n 2+ n 5) (n 4+ n 5) (n 5+ n 6) + n 5,
(1.2).
(1.2) , A, B .
ç È B È ç= ç ç+ ç B ç+ ç C ç.
n :
ç 1È 2 ÈÈ n ç= ç 1ç+ç 2ç++ ç n ç (ç 1Ç 2ç+ ç 1Ç 3ç+ +ç n 1Ç n ç)+ ç Ç B Ç C ç+ (ç 1Ç 2 Ç 3ç + +ç n 2Ç n 1Ç n ç) + (1) n 1 ç 1Ç 2 Ç n ç. (1.3)
n, [3].
i , .. i Ç j = Æ, i ¹ j, (1.3):
ç 1È 2 ÈÈ n ç= ç 1ç+ç 2ç++ ç n ç.
ç 1È 2 ÈÈ n ç£ ç 1ç+ç 2ç++ ç n ç.
|
|
. , , A = {1, 2, 3, , n,}, B = { 1, 2, , n, }. A ~ B. : n Î A n Î B, .. n n.
1.18.
A = {1, 2, 3, , n,}, B = {2, 4 , 2 n, }. A ~ B. : n 2 n.
1.19.
A = {1, 2, 3, , n,} , B = {, n, 2, 1, 0, 1, 2, , n, } .
B :
B = {0, 1, 1, 2, 2, , n, n, }, , 0 , 1 , 1 , 2 .. , , 0 . A B : n ³ 0 a = 2 n +1 A (.. ) b = n B; a = 2 n A (.. ) b = n B. , A B: 1 0, 2 1, 3 1, 4 2 ..
1.18 1.19 , . , 1.18 B Ì A, 1.19 A Ì B. , A ~ B.
, .. . . 1.5 , [ a, b ] [ c, d ] .
.1.5
. .1.6 , (a, b) .
. 1.6
.
. A B, B A, A B .
, .
A = [ a, b ] , B = (c, d) .
A 1 = [ a 1, b 1] [ a, b ], A 1Ì A. A 1 ~ B.
B 1 = (c 1, d 1) (c, d), B 1Ì B. B 1 ~ A.
, . A ~ B.
, , .
1.3. , N = {1, 2, 3, , n,}, .
, , .
1.20.
.:
1. A 1 = {1, 2, , n, };
2. A 2 = {2, 22, , 2 n,};
3. A 3 = {2, 4, , 2 n,};
4. A 4 = {, n, , 1, 0, 1, , n,};
, . 1.19 : A 1: n n; A 2: 2 n n; A 3: 2 n n; A 4 1.19;
, ( ).
|
|
1. .
1.21.
A = {3, 6, , 3 n,} , .. A , A Ì N.
2. .
1.22.
A = {0, 1, , n,} , B = {0, 1, , n,} , = È B = {, n, 2, 1, 0, 1, 2, , n, } .
3. , .. , p q , .
4. = { a 1, a 2, } B = { b 1, b 2, } , = {(ak, bn), k = 1, 2,; n = 1, 2, } .
1.23.
(ak, bn) (ak, bn). , .
5. P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x2 + + anxn a 0, a 1, a 2, an .
6. .