Врахування випадкового відхилення

Для одержання якісних оцінок істотну роль грає виконання певних передумов МНК для випадкових відхилень. Найбільш важливі з них вимагають, щоб відхилення u _і були нормально розподіленими випадковими величинами з нульовим математичним сподіванням і сталою дисперсією s², а також не корелювали один з одним.

Для опису можливих проблем із випадковим відхиленням скористаємося моделлю Y = аХ^β, доповнивши її випадковим фактором, який може входити у співвідношення по-різному. Розглянемо три можливих випадки: Y = аХ ^βе ^и (*) Y = аХ ^βu (**) Y = аХ ^β + u (***)

Дані моделі є нелінійними щодо параметрів (точніше, параметра β) При логарифмувавши кожне із цих співвідношень, відповідно одержимо:

1п Y = β₀ + β 1пХ + u, (#)

1п Y = β₀ + β 1пХ + 1п u, (# #)

1п Y = 1п (аХ ^β + u). (# # #).

· Використання (#) для оцінки параметрів в (*) не викликає ускладнень, пов'язаних із випадковим відхиленням.

· Перетворення (**) до (# #) призводить до перетворення випадкових відхилень u _і у 1п u _і. Використання МНК в (# #) вимагає, щоб відхилення 1п u _і задовольняли передумовам МНК: N(0, s²).

· Логарифмування співвідношення (***) не призводить до лінеаризації співвідношення щодо параметрів.

Лабораторна робота № 3 «Оцінювання параметрів нелінійної моделі»

Мета роботи:

1. Лінеаризація нелінійної моделі.

2. Оцінювання параметрів лінеаризованої моделі на основі МНК.

3. Вибір між лінійною та нелінійною специфікацією моделі.

Завдання:

1. Розрахувати різні види економетричних моделей між факторами Y, Х_1, Х₂:

· однофакторна: лінійна, поліноміальна, показникова;

· багатофакторна: лінійна, показникова.

2. Провести аналіз отриманих результатів на статистичну значущість.

3. Обрати кращу модель для прогнозування значень залежного фактора.

 

Y – обсяг молочної продукції (тис. т), запропонованої на ринку,

Х₁ – витрати на податки(ум. гр. од.), Х₂ – ціна за 1 л молока (ум. гр. од.)

Y	Х1	Х2
3,600	1,470	1,200
3,800	1,200	1,000
3,800	1,140	0,900
5,300	1,080	1,200
5,600	1,050	1,300
5,700	0,900	1,400
5,800	0,840	1,500
6,300	0,780	1,600
6,600	0,750	1,200
7,100	0,630	1,100
7,600	0,580	1,100
8,100	0,570	1,200
8,600	0,570	1,000
9,100	0,540	2,000
9,600	0,510	1,900

 

ЛІНIЛИ	ЛИНЕЙН	-6,172	11,629
		0,620	0,550
		0,884	0,676
		99,144	13,000
		45,332	5,944

1. Лінійна модель парної регресії: Ŷ = Х+ û

 

 

Лінійна модель парної регресії:

Ŷ = x + û = 11,629 – 6,117 х + û,

2. Коефіцієнт детермінації R² = 0,884: на 88,4% зміна обсягу молочної продукції (тис. т) формується зміною витрат на податки, 11,6 % припадає на невраховані фактори.

3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:

F = > F_таб =4,67 − модель є статистично значущою.

4. Перевірка статистичної значущості оцінки параметрів ậ₀ та ậ₁ моделі за Т- критерієм: t _ậ0 = 11,63 / 0,55 = 21,145, t ậ₁ =6,172 / 0,62 = 9,95 > t_таб =2,160

 

− оцінки параметрів моделі ậ₀ та ậ₁ є статистично значущими.

 

2. Квадратична модель парної регресії: Ŷ = Х + Х² + û,

Проводимо лінеаризацію моделі - вводиться заміна Х² = Z, в результаті чого модель матиме вигляд: Ŷ = Х + Z + û, параметри якої можна розрахувати за допомогою функції «ЛІНIЙН»:

 

Х	Z=X^2	Y	Yм	u = Y- Ŷ	u^2	Y-Yс	(Y-Yс)^2
1,47	2,161	3,600	3,652	-0,052	0,003	-2,840	8,066
1,20	1,440	3,800	4,141	-0,341	0,116	-2,640	6,970
1,14	1,300	3,800	4,357	-0,557	0,310	-2,640	6,970
1,08	1,166	5,300	4,611	0,689	0,474	-1,140	1,300
1,05	1,103	5,600	4,753	0,847	0,718	-0,840	0,706
0,90	0,810	5,700	5,607	0,093	0,009	-0,740	0,548
0,84	0,706	5,800	6,017	-0,217	0,047	-0,640	0,410
0,78	0,608	6,300	6,466	-0,166	0,027	-0,140	0,020
0,75	0,563	6,600	6,704	-0,104	0,011	0,160	0,026
0,63	0,397	7,100	7,757	-0,657	0,431	0,660	0,436
0,58	0,336	7,600	8,241	-0,641	0,411	1,160	1,346
0,57	0,325	8,100	8,341	-0,241	0,058	1,660	2,756
0,57	0,325	8,600	8,341	0,259	0,067	2,160	4,666
0,54	0,292	9,100	8,648	0,452	0,204	2,660	7,076
0,51	0,260	9,600	8,964	0,636	0,404	3,160	9,986
					3,291		51,276
5,393	-16,211	15,830	ЛІНI
1,734	3,263	1,416
0,936	0,524	#Н/Д
87,488	12,000	#Н/Д	Y cер	Yс =6,440		R2	R2=0,936
47,985	3,291	#Н/Д

1. Квадратична модель парної регресії: Ŷ = 15,83 -16,21∙Х + 5,393∙Х² + û,

2. Коефіцієнт детермінації R² = 0,936: на 93,6 % зміна обсягу молочної продукції (тис. т) формується зміною витрат на податки (ум.гр.од.), 6,4 % припадає на невраховані фактори. Причому значення коефіцієнта детермінації, розраховані за означенням і за допомогою функції «ЛІНIЙН», співпадають.

3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:

F = > F_таб = 3,89 − модель є статистично значущою.

4. Перевірка статистичної значущості оцінки параметрів ậ₀, ậ₁ та ậ₂ моделі за Т- критерієм: t_ậ0 = 15,83 / 1,416 = 11,179, tậ₁ =16,211 / 3,263 = 4,97, tậ₂ = 5,393 /1,734 = 3,11 > t_таб =2,179 − оцінки параметрів моделі ậ₀, ậ₁ та ậ₂ є статистично значущими.

 

 

· Показникова модель: Ŷ =

Для дослідження моделі Ŷ = проводиться лінеаризація − логарифмування залежності: .

Для використання функції ЛIНIЙН, робиться заміна:

Z = lnŶ, = , = , = ,

отримуємо модель простої регресії Z = ,

За МНК (функцією «ЛИНЕЙН») можна визначити незміщені оцінки коефіцієнтів і .

Але коефіцієнт детермінації розраховується не для фактичних змінних Y і Х, а для їхлогарифмів. Тобто для оцінювання якості розрахованої моделі потрібно додатково розрахувати коефіцієнт детермінації:

R² = 1 - = , D_у = , = .

№ п/п	Х	Y	Y-	( Y- )2
Σ						→ 0

 

 

При цьому функція ЛIНIЙН виводить значення змінних та і тому потрібно знайти значення та , де , а . Коефіцієнт є константою, яка характеризує сталу, тобто процентну, зміну Y для даної процентної зміни X.

X	V = ln x	Y	Z = ln Y	Y	Yм	u^ =Y-Yл	(u^)2	Y - Yс	(Y-Yс) 2
1,47	0,385	3,600	1,281	3,600	3,536	0,064	0,004	-2,840	8,066
1,20	0,182	3,800	1,335	3,800	4,249	-0,449	0,202	-2,640	6,970
1,14	0,131	3,800	1,335	3,800	4,451	-0,651	0,424	-2,640	6,970
1,08	0,077	5,300	1,668	5,300	4,675	0,625	0,391	-1,140	1,300
1,05	0,049	5,600	1,723	5,600	4,796	0,804	0,647	-0,840	0,706
0,90	-0,105	5,700	1,740	5,700	5,514	0,186	0,035	-0,740	0,548
0,84	-0,174	5,800	1,758	5,800	5,870	-0,070	0,005	-0,640	0,410
0,78	-0,248	6,300	1,841	6,300	6,277	0,023	0,001	-0,140	0,020
0,75	-0,288	6,600	1,887	6,600	6,505	0,095	0,009	0,160	0,026
0,63	-0,462	7,100	1,960	7,100	7,617	-0,517	0,268	0,660	0,436
0,58	-0,545	7,600	2,028	7,600	8,210	-0,610	0,372	1,160	1,346
0,57	-0,562	8,100	2,092	8,100	8,340	-0,240	0,058	1,660	2,756
0,57	-0,562	8,600	2,152	8,600	8,340	0,260	0,067	2,160	4,666
0,54	-0,616	9,100	2,208	9,100	8,759	0,341	0,116	2,660	7,076
0,51	-0,673	9,600	2,262	9,600	9,225	0,375	0,141	3,160	9,986
							Сума 2,739		Сума 51,276
	ЛІНIЛИНЕЙН
-0,906	1,612		a0ааа	а0 = 5,01
0,068	0,027		a1	а1= -0,91
0,932	0,085		R2	R2= 0,95
179,075	13,000
1,307	0,095

 

 

1. Показникова модель парної регресії: Ŷ = 5,112 ∙Х ^-0,906 ∙ ,

2. Коефіцієнт детермінації R² = 0,947: на 94,7 % зміна обсягу молочної продукції (тис. т) формується зміною витрат на податки (ум. гр. од.), 5,3 % припадає на невраховані фактори.

3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:

F = > F_таб = 3,89 − модель є статистично значущою.

4. Коефіцієнт = - 0,906 є константою, яка характеризує сталу, тобто процентну зміну Y для процентної зміни фактора Х₁ – витрат на податки.

 

4. Лінійна економетрична багатофакторна модель: Y = а₀ + а₁ X₁ + а₂X₂ + u.

За МНК (функцією «ЛИНЕЙН») можна визначити незміщені оцінки коефіцієнтів цієї моделі

1,09	-5,69	9,80
0,55	0,61	1,05
0,91	0,61	#Н/Д
62,53	12,00	#Н/Д
46,79	4,49	#Н/Д

 

 

1. Лінійна модель множинної регресії:

Ŷ = Х₁ + Х₂ + û = 9,80 – 5,69 Х₁ + 1,09 Х_{2 +} û,

2. Коефіцієнт детермінації R² = 0,91: на 91% зміна обсягу молочної продукції (тис. т) формується зміною витрат на податки і ціною молока, 9 % припадає на невраховані фактори.

3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:

F = > F_таб =3,89 − модель є статистично значущою.

4. Перевірка статистичної значущості оцінки параметрів моделі ậ₀, ậ₁ та ậ₂ моделі за Т- критерієм: t_ậ0 = 9,80 / 1,05 = 9,33, tậ₁ =5,69 / 0,61 = 9,32 7 > t_таб =2,179,

tậ₃ = 1,09 /0,55 = 1,98 < t_таб =2,179

− оцінки параметрів моделі ậ₀ та ậ₁ є статистично значущими,

оцінка параметру ậ₂ є статистично незначущою.

Висновок: Результати лабораторної роботи вказують на те, що найдоцільнішою для використання є нелінійна економетрична багатофакторна модель, коефіцієнт детермінації якої є найбільшим, він дорівнює 0,957.