Нелінійні регресії 1-го класу

Поліноміальна модель

Степенева функція виду Y = а₀ + а₁ Х₁ + а ₂ Х ² +... + а _т Х ^т + u (1)

часто характеризує ту чи іншу економічну залежність. Модель (1) можна звести до лінійної регресійної моделі. Заміняючи X на Х₁, X² на Х₂,..., Х_т на Х^т, одержимо замість (1) модель множинної лінійної регресїі із т змінними Х₁, Х₂, …, Х_т:

Y = а ₀ + а ₁ Х₁ + а₂ X₂ +... + а _mX_m + u, (2)

параметри якої знаходяться за МНК (за допомогою статистичної функції «ЛИНЕЙН»).

При цьому для оцінювання тісноти лінійного зв’язку можна використовувати лінійний коефіцієнт кореляції.

· Кубічна функція Y = а₀ + а₁X + а₂ Х ² + а ₃ Х ³ + u у мікроекономіці моделює залежність загальних витрат ТС від об'єму випуску Q (рис. 3,а).

· Аналогічно квадратична функція Y = а₀ + а₁Х + а₂ Х ² + u може характеризувати залежність між об'ємом випуску Q і середніми (АС)або граничними (МС) витратами (рис. 3, б); або між витратами на рекламу C і прибутком π (рис.3, в) тощо.

Рис.3

 

Гіперболічна модель

Гіперболічна модель у загальному випадку має та­кий вигляд: Y = a₀ + a₁ · + u. (3)

Модель (3) можна звести до лінійної регресійної моделі. Для всіх значень індексу і = 1,.., n рівняння у векторно-матричній формі набере вигляду Ŷ = ZÂ + Û, заміняючи 1/ X на Z.

 

Графіки гіперболічних моделей визначаються знаками параметрів â_0, â₁.

 

• â₀ < 0, â₁ > 0: на рис. 4 зображена так звана крива Філліпса.

Модель Y = a₀ + a₁ · + u використовується для аналізу залежності між зміною заробітної плати Y та рівнем безробіття X (у %).

 

 

Рис. 4

 

· â₀ > 0, â₁ > 0 крива залежності між факторними ознаками Y та X набуде вигляду:

 

Рис.5

 

Така залежність, що зображена на рис.5 кривою, має міс­це при дослідженні зв'язку між середніми фіксованими витрата­ми Y і обсягом випуску продукції X.

· â₀ > 0, â₁ < 0: кpива залежності між змінними Y та X набере вигляду:

 

Рис.6

Зображена функція – це функція Торнквіста, за допомогою якої описується залежність між попитом Y на товари першої необхідності й доходом X. Шведський економіст П.Торнквіст запропонував спеціальні функції попиту для груп товарів першої, другої необхідності, предметів розкоші (рис.7):

 

Рис. 7. Функції Торнквіста

 

- функція Торнквіста для товарів I необхідності: зростання попиту на першочергові товари зі зростанням доходу поступово уповільнюється і має границю (крива попиту асимптотично наближається до прямої );

, де - функція Торнквіста на товари II необхідності має свою границю більш вищого рівня (), причому попит на групу цих товарів з’являється лише за умови досягнення доходу рівня ;

, де - функція Торнквіста для предметів розкошу: не має границі, і попит на ці товари виникає тільки за умови підвищення доходу рівня і далі зростає дуже швидко.