Задача 1. Дама имеет 8 платьев, 5 пар туфель и 7 шляпок, причем она считает, что все это сочетается одно с другим. Сколькими способами дама может одеться?
Задача 2. Известно, что в троичной системе только три цифры: 0,1,2. Сколько всего существует четырехзначных троичных чисел?
Задача 3. Мобильный номер Билайн – это десятизначное число, начинающееся с девятки, а вторая цифра 0 или 6. Сколько всего существует мобильных номеров Билайн? Хватит ли их для всего населения России?
Задача 4. Мама приготовила на обед салат, суп, второе и компот. Капризная дочь любит менять порядок этих блюд. Сколькими способами дочь может пообедать, если все блюда она обязана съесть? А если она может съесть лишь часть блюд?
Задача 5. Требуется составить пятибуквенное слово русского языка из букв А,Д,К,С,О. Студент перебирает всевозможные варианты (ОКАДС, АКОДС и т.д.). Сколько всего вариантов ему предстоит перебрать?
Задача 6. В финальном заплыве стартуют 8 пловцов, им приготовлены золотая, серебряная и бронзовая медали. Сколько вариантов распределения медалей теоретически существует?
Задача 7. Вася помнит, что номер домашнего телефона у Маши шестизначный, начинается он на 56, и что все шесть цифр различны. Сколько телефонных звонков надо сделать Васе, чтобы гарантированно найти Машу?
Задача 8. Турист решил взять из своей библиотеки (в которой 30 книг) три книги с собой в отпуск. Сколькими способами он может это сделать? А если он решил взять не более трех книг?
Задача 9. В студенческой группе 10 юношей и 8 девушек. Требуется отобрать команду на спартакиаду по шахматам, в которой должно быть 3 юношей и 2 девушки. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 10. У ребенка имеются таблички с цифрами 2,2,3,3,3,3,7,7,7. Он пытается сложить из них 9-значное число. Сколькими способами он может это сделать?
Задача 11*. 1. Число 10 разбивают на сумму трех натуральных чисел, например, 3+3+4 или 5+2+3. Сколькими способами это можно сделать (перестановка слагаемых считается как разные способы, т.е. 3+3+4 и 3+4+3 мы различаем)? 2. То же, но слагаемые могут быть и нулевые: 6+0+4 (по-прежнему мы отличаем это от 4+6+0).
Задача 12*. Какова мощность множества всех пятизначных чисел, у которых НЕ все цифры различны?
Задача 13*. В городе М существуют всевозможные семизначные телефонные номера (начинающиеся с 1,2,3,…,9). Номер называется счастливым, если в нем содержатся три (но не четыре!) семерки подряд, например, 1777277. Сколько всего существует счастливых номеров?
Задача 14*. Автобусный билет – это число а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 6, где все цифры аk от 0 до 9. Билет называется строго возрастающим, если а 1 <а 2 < а 3 <а 4 <а 5 < а 6. Какова мощность множества всех строго возрастающих билетов?
Отношение на множестве
Всякое множество ГÌАхА декартово произведение множества А самого на себя называется отношением на множестве А.
Отношение Г называется рефлексивным, если для всех а ÎА верно а Г а. Отношение Г называется симметричным, если для всех а, b ÎА, верно а Г b Þ b Г а.
Отношение Г называется транзитивным, если для любого а,b, с ÎА, а Г b, b Г с Þ а Г с.
Отношение Г называется антирефлексивным, если для любого а ÎА а Г а никогда не выполняется.
Отношение Г называется антисимметричным, если для любого а ÎА и b ÎА а Г b и b Г а одновременно невозможно.
Отношение Г называется асимметричным, если для любых а, b ÎА из а Г b и b Г а Þ а=b.
Если отношение Г рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности.
Теорема. Если на множестве А задано отношение эквивалентности Г, то множество А распадается на объединение непересекающихся классов эквивалентности.
Отношение Г называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, асимметрично, транзитивно.
Отношение Г называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Множество с заданным на нем отношением порядка называют упорядоченным множеством.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. На множестве людей L задано отношение Г – «жить на одной улице». Проверить, является ли оно отношением эквивалентности.
Решение. Для того чтобы отношение Г было отношением эквивалентности, необходимо, чтобы оно было рефлексивным, симметричным, транзитивным.
1. Так как каждый человек живет сам с собой на одной улице, то l Г l выполняется, а значит отношение Г – рефлексивно.
2. Так как из того, что человек l 1 живет на одной улице с человеком l 2 следует, что и l 2 живет на одной улице с l 1, т.е. из l 1Г l 2 Þ l 2Г l 1, то значит отношение Г – симметрично.
3. Очевидно, что из l 1Г l 2 и l 2Г l 3 следует l 1Г l 3.
Таким образом, отношение Г – отношение эквивалентности.
Задача 2. Пусть А=R – множество действительных чисел. Введем на R отношение Г: х Г у, если х £ у. Проверить, является ли отношение Г отношением порядка.
Решение. 1. Проверим на рефлексивность. Так как хГх выполняется, т.е. х£х, то Г – рефлексивно. 2. Проверим на симметричность. Так как из хГуÞуГх только в случае, когда х=у (х£у, у£х Þх=у), то отношение Г – асимметрично. 3. Проверим на транзитивность. Так как из хГу, уГzÞхГz (х£у, у£zÞх£z), то отношение Г – транзитивно.
Из 1.-3. следует, что Г – отношение нестрогого порядка, а значит, отношение Г является отношением порядка.
