Задача 1. Найти хроматическое число и хроматический индекс графа.
| v7 |
| v6 |
| v5 |
| v4 |
| v3 |
| v2 |
| v1 |
| v2 |
| v3 |
| v9 |
| v4 |
| v8 |
| v7 |
| v6 |
| v5 |
| v1 |
Задача 3. Правильно выполнить раскраску вершин и ребер графа.
| v3 |
| v2 |
| v7 |
| v2 |
| v8 |
| v6 |
| v5 |
| v4 |
| v3 |
| v1 |
| v7 |
| v6 |
| v5 |
| v4 |
| v1 |
Представление графов в памяти компьютера. Код Харари
Пусть дан граф с n вершинами. Пронумеруем вершины произвольно и составим матрицу смежности А. Так как граф неориентированный, то она будет симметрична относительно главной диагонали, поэтому достаточно взять ее верхний треугольник А'.
| A' |
Расположим А' в виде двоичной строки (слева направо и сверху вниз). Меняя нумерацию вершин, мы получим другие двоичные строки. Сравним их между собой как двоичные числа. Наибольшее из двоичных чисел называется кодом Харари, а возникшую при этом нумерацию вершин – канонической. Код Харари определяет граф однозначно, но не всякое число может быть кодом Харари.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Найти код Харари графа.
Решение. Занумеруем вершины графа, выпишем матрицу смежности и ее верхний треугольник.
, верхний треугольник = 1111 011 0002=98410.
Легко увидеть, что данная нумерация вершин является канонической, так как, сменив нумерацию вершин, получим числа меньше числа 984. Следовательно, кодом Харари данного графа является число 984.
Задача 2. Восстановить и нарисовать граф по числу 698 как по ходу Харари. Проверить, действительно ли нумерация вершин каноническая (т.е. является ли число кодом Харари).
Решение. Переведем число 698 в двоичную форму, для чего будем делить его на 2, записывая справа от черты остатки от деления, а слева на следующей строке частные.
698|0
349|1
174|0
87|1
43|1
21|1
10|0
5|1
2|0
1|
Записываем число, начиная с последнего частного и далее все остатки снизу вверх: 1010111010. Код Харари должен быть треугольным числом, т.е. иметь длину 1,3,6,10,15,21 и т.д., если длина не совпадает ни с одним из этих чисел, то добавляем слева необходимое количество нулей. Для числа 698 этого делать не нужно, так как треугольное число равно 10.
Разбиваем число на разряды: 1010-111-01-0, выписываем эти числа в верхний треугольник матрицы, затем восстанавливаем всю матрицу, записывая ее строки по столбцам:
Восстановим по этой матрице граф с четырьмя вершинами
Заметим, что нумерация вершин не является канонической. Перенумеруем вершины.
Запишем матрицу смежности для получившегося графа
верхний треугольник = 11100110012=92110. 921>698, значит, число 698 кодом Харари не является.
