Гироскопические силы, гироскопы и их применение в технике

Гироскопом называют массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии. Рассмотрим поведение гироскопа на примере волчка. Опыт показывает, что если ось вращающегося волчка наклоне­на к вертикали, то волчок не падает, а совершает так называе­мое прецессионное движение (прецессию) — его ось описывает конус вокруг вертикали с некоторой угловой скоростью , причем оказывается: чем больше угловая скорость и вращения волчка, тем меньше угловая скорость прецессии .

Такое поведение волчка-гироскопа можно легко объяснить с помощью уравнения моментов (5.6), если только принять, что >> (это условие, кстати, поясняет, что имеется в виду под бо­льшой угловой скоростью гироскопа). Действительно, момент импульса прецессирующего волчка относительно точки опо­ры О (рис. 5.14) можно представить в виде суммы момента им­пульса , обусловленного вращением волчка вокруг своей оси, и некоторого добавочного момента импульса , вызванно­го прецессией волчка вокруг вертикальной оси, т. е. .

Поскольку ось волчка совпадает с одной из его главных осей, то , где - момент инерции вол­чка относительно этой оси. Кроме того, ясно, что чем меньше угловая скорость прецессии, тем меньше и соответствующий момент . При >> во всех практически интересных случаях , поэтому результирующий момент импульса почти совпадает с как по модулю, так и по направлению, и мож­но считать, что

Зная поведение вектора , мы найдем и характер движения оси волчка-гироскопа.

Поведением вектора управляет уравнение моментов . Согласно ему, момент импульса относительно точки О (рис. 5.14) получает за время приращение ,

совпадающее по направлению с вектором — моментом внешних сил относительно той же точки О (в данном случае это мо­мент силы тяжести m ). Из рис. 5.14 вид­но, что . В результате вектор (а следовательно, и ось волчка) будет пово­рачиваться вместе с вектором вокруг вертикали, описывая круговой конус с уг­лом полураствора . Волчок-гироскоп бу­дет прецессировать вокруг вертикальной оси с некоторой угловой скоростью .

Найдем связь между векторами , и . Согласно рисун­ку, модуль приращения вектора за время есть , или в векторном виде . Разделив на , получаем

Из этого уравнения видно, что момент силы определяет угловую скоростьпрецессии (а не ускорение!). Поэтому мгновенное устранение момента приводит к мгновенному ис­чезновению и прецессии. В этом отношении можно сказать, что прецессия не обладает инерцией.

Заметим, что момент сил , действующий на гироскоп, мо­жет иметь любую природу. Для обеспечения регулярной пре­цессии (постоянной угловой скорости ) важно только, чтобы вектор , не меняясь по модулю, поворачивался вместе с осью гироскопа.

Пример. Найдем угловую скорость прецессии наклонного волчка мас­сы т, вращающегося с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии, относительно которой момент инерции волчка равен . Центр масс волчка находится на расстоянии I от точки опоры. Очевидно, , где — угол между вертикалью и осью волчка (рис. 5.14). Отсюда

.

Интересно, что величина не зависит от угла наклона оси волчка. Кроме того, полученный результат показывает, что обратно пропорциональна , т. е., действительно, чем больше угловая скорость волчка, тем меньше угловая скорость его прецессии.

Рассмотрим эффект, возникающий при вынуж­денном вращении оси гироскопа. Пусть, например, ось гироскопа укреплена в U -образной подставке, которую мы бу­дем поворачивать вокруг оси ОО' (рис. 5.15). Если момент импульса гироско­па направлен вправо, то при таком пово­роте за время вектор получит приращение - вектор, направленный за плоскость рисунка. Это озна­чает, что на гироскоп действует момент сил , совпадающий по направлению с вектором . Момент обусловлен возникнове­нием пары сил , действующих на ось гироскопа со стороны подставки. Ось же гироскопа в соответствии с третьим законом Ньютона будет действовать на подставку с силами ' (рис. 5.15). Эти силы называют гироскопическими; они создают гироскопи­ческий момент '. Заметим, что в данном случае гиро­скоп не обладает способностью противодействовать изменению направления его оси вращения.

Появление гироскопических сил называют гироскопическим эффектом. Подобный гироскопический эффект, связанный, с возникновением гироскопического давления на подшипники, наблюдается, например, у роторов турбин на кораблях при по­воротах и качке, у винтовых самолетов при виражах и т. п.

Проследим действие гироско­пического момента на примере ги­роскопа, ось которого вместе с рамкой (рис. 5.16) может свобод­но поворачиваться вокруг гори­зонтальной оси ОО' U -образной подставки. Если подставке сооб­щить вынужденное вращение во­круг вертикальной оси, как пока­зано на рисунке вектором , то момент импульса гироскопа по­лучит за время приращение — вектор, направленный за рисунок. Это приращение обу­словлено моментом пары сил, действующих на ось гироско­па стороны рамки. Гироскопические силы, действующие со стороны оси гироскопа на рамку, вызовут поворот последней вокруг горизонтальной оси ОО'. При этом вектор получит дополнительное приращение , которое, в свою очередь, обусловлено моментом пары сил, действующих на ось гиро­скопа со стороны рамки. В результате ось гироскопа будет по­ворачиваться так, что вектор будет стремиться совпасть по направлению с вектором .

Таким образом, за промежуток времени момент импульса гироскопа получает приращение . При этом на рамку действует гироскопический момент . Составляющая этого момента вызывает поворот рамки вокруг горизонтальной оси ОО', другая составляющая противодействует повороту всей системы вокруг вертикальной оси (в отличие от предыдущего случая).

Гироскопический эффект лежит в основе разнообразных применений гироскопов: гирокомпас, гироскопический успоко­итель качки корабля, гироскопический стабилизатор и др.