Момент инерции. Теорема Штейнера

Согласно формуле (5.2), момент инерции тела – аддитивная величина ,

момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частиц.

Важно отметить, что момент инерции существует безотносительно к вращению. Каждое тело, независимо от того, вращается оно или нет, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси. Из выражения (5.7) следует, что один и тот же момент силы вызывает большее угловое ускорение у того тела, у которого момент инерции меньше. Таким образом, момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Эту формулу можно представить в виде , где - плотность -той частицы, - ее объем. Если тело однородно, его плотность постоянна, и суммирование по всем частицам сводится к интегралу: Интегрирование производится по всему объему тела. Величины и зависят от местоположения частицы, т.е. являются функциями ее координат.

Найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 5.12).

Разобьем диск на кольцевые слои толщиной и рассмотрим один такой слой. Все его точки находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, равном . Объем слоя равен , где - толщина диска. Диск однородный, его плотность одинакова во всех точках, тогда момент инерции диска равен

где - радиус диска. Очевидно, масса диска равна , тогда получаем .

Определение момента инерции тела относительно произвольной оси существенно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями .

Для доказательства этой теоремы рассмотрим ось С (рис.5.13), проходящую через центр масс тела, и параллельную ей ось О, отстоящую от точки С на расстояние . Из точки на оси О к оси С проведем вектор ,перпендикулярный к обеим осям. Из конца вектора проведем вектор , перпендикулярный к оси С в точку с элементарной массой . Аналогичный вектор проведем из начала вектора к той же элементарной массе. Из рисунка видно, что Квадрат расстояния от оси С до выбранной частицы равен , а от оси О Тогда момент инерции относительно оси О

В этом выражении - момент инерции тела относительно оси С, - масса тела, , где - вектор, проведенный от оси С к центру масс тела, =0, так как центр масс лежит на оси С, поэтому второе слагаемое равно нулю. Тогда получаем

что и требовалось доказать.

В случае произвольного твердого тела связь между векторами и более сложная, чем рассмотренная выше. Однако модули этих векторов всегда остаются пропорциональны друг другу, следовательно, каждая компонента вектора будет линейно зависеть от компонент вектора :

Здесь и т.д. – коэффициенты пропорциональности, имеющие размерность момента инерции. При увеличении в некоторое число раз в такое же число раз увеличится каждая из компонент , , и каждая из компонент , а значит, и сам вектор . Взаимная ориентация векторов и определяется значениями коэффициентов пропорциональности. Все сказанное означает, что эти коэффициенты являются компонентами тензора второго ранга, который называется тензором инерции