При подготовке к решению задачи по расчету переходных процессов методом переменных состояния

Пусть для цепи (рис. 8.1) известны параметры Гн, С = мкФ, Ом, U =100 B. Необходимо определить закон изменения в переходном процессе функции .

Рис. 8.1. Схема к примеру по расчету переходных процессов

методом переменных состояния

Построим нормальное дерево. Заметим, что при его построении учитываются все узлы графа, в том числе и устранимые. Обозначим ветви дерева сплошными линиями, а хорды – пунктирными.

Отметим на графе основные сечения (разрезы), перечислив их в порядке приоритетов ветвей дерева.

Рис. 8.2. Граф схемы рис. 8.1

Для основных разрезов составим систему уравнений по первому закону Кирхгофа, а для основных контуров – по второму.

, (8.2)

, (8.3)

, (8.4)

, (8.5)

. (8.6)

Из этих уравнений выбираем два уравнения (8.2) и (8.5), содержащие ток и напряжение

Далее с помощью оставшихся уравнений системы выражаем токи и напряжения правой части этих двух уравнений через переменные состояния. Таким образом, получаем следующую систему уравнений:

Следовательно

+ .

Здесь векторы и матрицы следующие

, , = , = , =

Если искомой величиной является функция , то . В соответствии с математической формулировкой задачи вектор Y также должен быть выражен через переменные состояния. Эти связи находятся из анализа той же системы уравнений (8.2)… (8.6). Для данного примера . Поэтому матрицы и принимают вид

, .

Решение такой системы можно получить численным методом с помощью, например, пакета MathCad.

Для этого выполним операции перемножения и суммирования в правой части уравнения (8.1) и подставим численные значения параметров схемы. Получаем в системе (8.1) справа матрицу–столбец. Присвоим значения этого столбца матрице, которую обозначим как .

где и – элементы вектора .

Для решения этой системы дифференциальных уравнений выберем метод Рунге – Кутта с переменным шагом. Для этого в пакете MathCad выбираем окна в следующем порядке: ФУНКЦИИ – дифференциальные уравнения – Rkadapt.

Для того чтобы воспользоваться этой функцией MathCad, необходимо задать вектор независимых начальных условий, который обозначим как , указать начало и конец времени интегрирования, а также количество точек N, для которых проводится решение.

Вектор – результат решения системы дифференциальных уравнений обозначим S (solving). Тогда ввод команды для решения будет выглядеть следующим образом:

Выделим из матрицы решения S независимую переменную и функции и , учитывая, что аргумент расположен в первом столбце, а функции и в последующих столбцах. Так для рассматриваемой схемы

(здесь счет элементов матриц начинается с единицы).

Для того чтобы решить алгебраическую часть общей системы уравнений, надо искомую функцию выразить через полученные в результате интегрирования переменные состояния. Тогда искомый ток найдем как

На рис. 8.3 представлен примерный вид окна пакета MathCad.

З а д а ч а 8. 1

Электрические цепи, схемы которых показаны на рис. 7.5, а параметры приведены в табл. 7.4, включаются под действие напряжения В. Составьте систему уравнений, необходимых для расчета методом переменных состояния.

Рис. 8.3. Общий вид окна при решении задачи с использованием

метода переменных состояния в пакете MathCad

З а д а ч а 8. 2

Составьте систему уравнений, необходимых для расчета указанных в табл. 8.3 величин методом переменных состояния.

З а д а ч а 8. 3

Для электрической схемы, соответствующей номеру варианта (табл. 8.4), параметры которой указаны в табл. 8.5, определите искомые ток и напряжение.

Таблица 8.2

Схемы к задаче 8.2

№ п/п	Схема	№ п/п	Схема

Таблица 8.3

Исходные данные к задаче 8.2

Вариант	Схема из табл.8.2	Искомые величины	Вариант	Схема из табл.8.2	Искомые величины	Вариант	Схема из табл.8.2	Искомые величины