| Поступательное движение | Вращательное движение | |
| s – путь, м | j - угловой путь, рад j = 2p N; (N – обороты) | |
| u - -скорость (м/с) u = d s /d t = s¢ | w- угловая скорость, рад/с w = 2p n; w =dj/ dt = j¢ (n – об/с) | |
| a - ускорение, м/с2 a = du/d t = u¢ | e - угл. ускорение, рад/с2 e = dw/d t = w¢ | |
| Неравномерное движение | ||
| <u>=D s/ D t < a >=Du / D t | <w>=DjD t <e>=Dw/D t | |
| Равномерное движение | ||
| u -const s = u t | w - const j = w t | |
| Равнопеременное движение | ||
| a = Du/D t прямолинейное s = u0 t ± at 2/2 u = u0 ± at | e = Dw/D t j = w0t ± e t 2/2 w = w0 ± e t | |
| Криволинейное движение | ||
| a n = u2/ R a t = du/d t a = Ö a t 2 + a n 2 | ||
Равномерное вращение можно характеризовать периодом вращения Т - временем, за которое совершается один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2π. Тогда w = j/ t = 2π./ Т или
Т = 2π./ w.
Графические зависимости j(t), w(t), e(t) для вращательного движения имеют такой же вид, как и для поступательного (рис.4, 5).
Далее приведены примеры решения задач по кинематике.
Примеры решения задач
Пример 1. Уравнение зависимости пути s, пройденного телом, от времени t имеет вид s = 4 t – 2 t 2 + t 3 (s в м, t в с). Найти: 1) зависимость скорости u и ускорения а от времени t; 2) расстояние, пройденное телом, скорость и ускорение тела через три секунды после начала движения; 3) среднюю скорость и среднее ускорение тела за первые три секунды движения.
Р е ш е н и е. 1) Уравнение движения тела задано траекторным способом. Скорость в этом случае определяется как первая производная от пути по времени, т.е. по формуле (2), ускорение - как вторая производная от пути по времени или первая производная от скорости по времени, т.е.
u(t) = s ¢= 4 - 4 t + 3 t 2; а (t) = u¢ = s¢¢ = -4 + 6 t ×
2) Найдем путь, скорость и ускорение тела через три секунды после начала движения, подставив время в предыдущие уравнения:
s =4×3 - 2×32 + 33 = 9 м; u = 4 - 4×3 + 3×32 = 10 м/с; а = -4 + 6×3 = 14 м/с2.×
3) Средняя скорость движения <u> определяется соотношением <u> = D s / D t, где D t = t 2 -t 1, D s = s2 –s1. В нашем случае t 1= 0, t 2= 3 с, D t = 3 с;
s 1= 0, s 2= 4×3 - 2×32 + 33 = 9 м. Тогда <u> = 9 / 3 = 3м/с
Среднее ускорение < a > определяется соотношением < a > = Du / D t, где D t = 3 с, а Du = u2 –u1. Скорость для моментов времени t 2 и t 1 определим из выражения u(t) = s ¢= 4 - 4 t + 3 t 2, при t 1=0 u1=4 м/с, при t 2= 3 с u2= 19 м/с, тогда < a > = (19 – 4) / 3 = 5 м/с2.
Пример 2. На рис. 10 показана зависимость скорости от времени для нескольких движений (1, 2, 3). Дать характеристику каждому движению по схеме: тип движения (равномерное, равнозамедленное, равноускоренное); начальная скорость u0; ускорение a; путь, пройденный телом за все время движения.
Р е ш е н и е. На графике 1 представлено равнозамедленное движение, его начальная скорость u0 равна 12 м/с, ускорение определяем по формуле a =(u - u0)/D t. Вычисляем:
a = (0 - 12) / 6 = -2 м/с2.
Путь можно найти двумя способами - по формуле (12), все данные для которой берем из графика:
s 1= 12×6 - 2×62/2 = 36 м,
или через площадь треугольника под линией зависимости u(t)
s 1= 12 × 6 / 2 = 36 м.
График 2 соответствует равноускоренному движению с начальной скоростью u0 = 4 м/с. Через 8 с после начала движения скорость возросла до 12 м/с (конечная скорость u), тогда ускорение
a = (12 - 4) / 8 = 1 м/с2.
Путь определяем по формуле (12)
s 2 = 4 × 8 + 1×82/2 = 64 м.
Очевидно, что площадь трапеции под графиком 2 равна тоже 64 м.
График 3 показывает, что движение в течение первых четырех секунд было равномерным со скоростью u = 12 / 3 = 4 м/с. В последующие четыре секунды движение равнозамедленное с начальной скоростью u0 = 4 м/с и конечной скоростью, равной 4 м/с. Ускорение при равнозамедленном движении
a = (4 - 12) / 4 = -2 м/с2.
Путь, пройденный за все время движения, определяется суммой пути равномерного движения s рвнм = u× t = 12 × 4 = 48 м и равнозамедленного s рзмдл= 12 × 4 – 2 × 16 / 2 =32 м.
Общий путь s = 48 + 32 = 80 м.
Пример 3. Колесо радиусом 10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени задается уравнением j = 3 + 2 t + t 3 (j в радианах, время в секундах). Для точек на ободе колеса через три секунды после начала движения найти 1) угловой путь в радианах и оборотах; 2) угловую скорость и число оборотов в единицу времени; 3) линейную скорость; 4) угловое ускорение; 5) нормальное ускорение; 6) тангенциальное ускорение; 7) полное ускорение.
Р е ш е н и е. 1) Угловой путь в радианах найдем подстановкой времени в уравнение движения: j = 3 + 2×3 + 33 = 36 рад. Угловой путь j связан с оборотами N соотношением j = 2πN, т.е. N = j / 2π, отсюда N = 36/6,28 = 5,73 оборота.
2) Угловая скорость w = j¢ =2 + 2 t 2, для нашей задачи w =2 + 2×32= 20 рад/с. Угловая скорость связана с числом оборотов в единицу времени соотношением w = 2π n, отсюда n = 20 / 6.28 = 3,18 об/с.
3) Линейная скорость u = w× R, т.е. u = 20×0,1 = 2 м/с.
4) Угловое ускорение e = w¢ = 4 t, т.е. e = 4×3 = 12 рад/с2.
5) Нормальное ускорение а n = u2/ R = w2× R, т.е. а n =202×0,1= 40 м/с2.
6) Тангенциальное ускорение а t = du/d t = u¢ = e× R, т. е. а t = 12×0,1 = 1,2 м/с2.
7) Полное ускорение,, т.е.
а = Ö 402 + 1,22 = 40,02 м/с2.
Пример 4. Снаряд вылетел из орудия под углом 300 к горизонту со скоростью u0 = 600 м/с. Найти через 20с после начала движения 1) положение снаряда (на подъеме или спуске); 2) высоту подъема снаряда; 3) его скорость; 4) угол между нормальным и полным ускорением; 5) тангенциальное и нормальное ускорения. Принять g = 10 м/с2
А н а л и з. Траектория движения снаряда представлена на рис.2. Движение сложное, состоит из двух простых: вдоль оси Х оно равномерное с постоянной скоростью uх = u0х = u0×cosa, вдоль оси У - равнопеременное с начальной скоростью u0у= u0×sina и ускорением g = 9,8 м/с2. Запишем уравнения движения в проекциях на координатные оси:
ОХ: х = u0×cosa× t, (25)
ОУ: y = u0×sina× t – gt 2/2, (26)
uу = u0×sina – gt. (27)
Знак «минус» в последних двух уравнениях показывает, что вектор g направлен против положительного направления оси ОУ (если бы ось ОУ направили вниз, знак изменился бы на противоположный).
Р е ш е н и е. 1) Для определения положения снаряда в указанный момент времени t = 20с нужно найти время движения снаряда до высшей точки траектории (обозначим это время, например, через t1). Если t будет меньше t1, снаряд будет подниматься, если наоборот – опускаться. Время t найдем из уравнения (27).
Поскольку в высшей точке траектории uу = u0×sina – g t1 = 0, то
t1 = u0×sina / g. t1 = 600×sin300 /10 = 600×0,5 /10 = 30 c.
Сравним t и t1, t < t1, значит снаряд находится на подъеме.
2) Через t =20 с после начала движения у = h. Определим h по уравнению (25): h = u0×sina× t – gt 2/2;
h = 600×sin300×20 - 10×(20)2/2 = 6000 – 2000 = 4000 м.
3) Скорость в указанной точке, согласно рис. 11, определится по теореме Пифагора: u = Ö ux2 + uy2.Составляющую с корости uу найдем по уравнению (27) для момента времени 20с: uу = 600×0,5 – 10×20 = 100 м/с. Учтем, что uх = 600×cos300=600×0,87=520 м/c, тогда u = Ö1002 + 5202 = 529,53 м/с
4) Для определения угла между векторами нормального ускорения а n и полного g, который всегда направлен вниз, нужно знать направление а n. Параллелограмм ускорений в сопоставлении с параллелограммом скоростей представлен на рис. 12. Тангенциальное ускорение направлено против скорости, т.к. движение на подъеме замедленное. Из рис. 11 следует, что sinb = uх / u = аn / g;
sinb = uх / u = 520 / 529,43 = 0,98; b = 790.
5) Зная угол b, найдем аt и аn: аt = g×cosb; аt = 10×0,71 = 7,1 м/с2;
аn = g×sinb; аn = 10×0,7 = 7 м/с2
Пример 5. Вентилятор, вращаясь равноускоренно, через время t = 15 c после включения достиг скорости, соответствующей частоте вращения n = 600 об/мин. Найти угловое ускорение вентилятора и число оборотов за время t.
Р е ш е н и е. Уравнения, описывающие вращение вентилятора, имеют вид
j = 2πN = w0 t + e t 2/2; w = w0 + e t.
Поскольку начальная угловая скорость w0 равна нулю, второе из этих уравнений преобразуется к виду w = e t. Учтем, что w = 2π n, получим 2π n = e t. Тогда e = 2π n / t. Переведем об/мин в об/с: n = 600/60 = 10 об/с. Вычисляем угловое ускорение e = 2×3,14×10/15 = 4,2 рад/с2.
Из первого уравнения (w0=0), следует, что N = e t 2/(4π). Вычисляем6
N = 4,2×102/(4×3,14) = 420 / 12,57 = 33,41 оборотов
Ниже приведены образцы экзаменационных вопросов и заданий.
Экзаменационные вопросы и задания
Предлагаются экзаменационные задания разных типов. Самые простые вопросы требуют от студентов знания всех физических величин и их единиц измерения, изучаемых в данном разделе. В этих случаях в ответе нужно написать букву, обозначающую физическую величину и ее единицу измерения в СИ.
На вопросы типа 4,5, 9, 10,… и т. п. нужно давать словесный ответ. Есть тестовые задания с открытым ответом (например, 14, 15, 16) в виде уравнений, чисел, графиков и т.д. В таких заданиях нужно выбрать правильный ответ.
Большая часть заданий сформулирована традиционным образом и требует четкого решения по образцу школьных задач.
Студенты, тщательно проработавшие приведенные ниже задания, успешно справятся с аналогичными экзаменационными по кинематике.
1. Нормальное ускорение (обозначение, ед. измерения).
2. Угловая скорость (обозначение, ед. измерения).
3. Ускорение свободного падения (обозначение, ед. измерения, численное значение).
4. Какая физическая величина измеряется в рад/с2 (кг*м2, Н*м, и т.д.)?
5. В каком случае перемещение тела равняется пройденному пути?
6. Физическую величину, равную 0,1 мм/мин2 перевести в систему СИ. Что это за величина?
КИЕНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
7. Тело движется прямолинейно со скоростью 3 км/час. Выразить эту скорость в единицах системы СИ.
8. Ускорение ползущей черепахи составляет 0,5 мм/мин2. Выразить его в системе СИ.
9. Охарактеризовать движение, для которого а τ = 0, а n = 2 м/с 2 .
10. К какому виду можно отнести движение со следующими характеристиками: а τ = 0, а n = const?
11. По какой траектории движется тело, если а n = 0?
12. Материальна точка, двигаясь по периметру прямоугольника со сторонами а и в, переместилась из одного угла прямоугольника в противоположный. Найти путь и перемещение точки.
13. Движение тела с постоянным положительным (отрицательным) ускорением называется …..
14. Твердое тело движется по закону s = 0,3 t 2 + 0,1, (рад/с). Это движение является ….
а) равномерным; б) ускоренным; в) равноускоренным; г) равнозамедленным; д) замедленным? Выбрать правильный ответ.
15. Материальная точка движется прямолинейно. Выбрать уравнения, описывающие равномерное движение (х - координата; υ - скорость; а - ускорение):
А) х = 3 t 4 + 1; Б) υ = 3 t 2 + 2 t; В) а = 0,1 + t; Г) х = 0,3 t 2 + 0,1;. Д) нет правильного ответа.
16. Какие из приведенных уравнений описывают равнопеременное движение?
А) υ = 5 + 2 t 2 ; Б) s = s 0+ 2 t; В) s = 2 t 2; Г) s = s 0- 2 t - t 2;
Д) υ = 3 - 2 t; Е) a = 0.5 t.
17. Тело движется прямолинейно по законуs = 3 t 2 + t + 1. Найти его начальную скорость.
18. Скорость прямолинейного движения материальной точки подчиняется закону υ = 1 + 2 t 2 ,м/с. Охарактеризовать это движение. Записать кинематическое уравнение движения x (t).
19. Два автомобиля движутся по одной дороге, причем скорости их меняются так, как показано на графике (рис.13). Который из них имеет большее ускорение?
 | |||
 | |||
20. Какой путь пройдет человек за 10 с, двигаясь со скоростью 5,4 км/час?
21. Из пункта А в пункт В выехал автомобиль. Двигаясь на протяжении всего пути с ускорением 0,1 м/с2, он прибыл в пункт назначения через четверть часа. Какое расстояние между пунктами?
22. Пловец плывет против течения реки со скоростью 4 км/час. Скорость течения реки 2 км/час. Какова скорость пловца, если он плывет по течению реки?
23. Автомобиль прошел расстояние АВ со скоростью 40 км/час, а обратное ВА - со скоростью 30 км/час. Какова средняя скорость рейса?
24. Автомобиль движется по закону, представленному на графике (рис.14). Какую скорость показывает его спидометр?
25. Кинематическое уравнение движения тела имеет вид s = 5 t + 0,4 t 2. Определить скорость тела через 3 с после начала движения. Какова средняя скорость тела за 3 с движения?
26. Скорость прямолинейного движения материальной точки подчиняется закону υ = 3 + 4 t 2,м/с. Определить путь и перемещение тела за первые 2 с своего движения.
27. Ускорение прямолинейно движущейся точки изменяется по закону a = (2 t 2 + 0,5 ),м/с2. Какова скорость точки через три секунды движения?
28. Вы едете на автомобиле из Красноярска до пос. Солонцы. Первую треть пути вы проехали со скоростью 50 км/час, вторую – со скоростью 70 км/час и третью – со скоростью 60 км/час. Определить среднюю скорость Вашего движения.
29. Поезд, отойдя от станции, первые 100 м пути проходит за 10 с, а следующие 300 м - за 15 с. Определить среднюю скорость движения поезда при разгоне.
30. Уравнение скорости движения тела имеет вид υ = 20 - 2 t. Какой путь пройдет это тело за 3 с?
31. Для тела, движущегося прямолинейно, зависимость пройденного пути от времени имеет вид s = 2 + 3 t, где t - время движения. С каким ускорением движется тело?
32. Указать графики (рис.15), описывающие равномерное (равнозамедленное) движение. Здесь υ - скорость движения; S - пройденный путь; a - ускорение; t - время.
33. При движении тела по криволинейной траектории угол между тангенциальным и нормальным ускорениями равен ….
34. В некоторой точке траектории полное ускорение движущегося объекта равно 10 м/с 2, тангенциальное 9 м/с2. Определить нормальное ускорение объекта.
35. Материальная точка движется замедленно (ускоренно) по указанной траектории (рис.16) в направлении стрелки. Показать направление тангенциального (нормального, полного) ускорения в точке В.
| |||
| |||
36. При движении тела по криволинейному пути его тангенциальное ускорение равняется 1 м/с2, нормальное в три раза больше. Найти полное ускорение
37. Тело движется по криволинейной траектории в направлении, указанном стрелкой. За 2 с оно переместилось из точки А в точку В. При этом его скорость менялась по закону υ = 5 + 6 t 2,м/с. Найти путь и перемещение точки за это время.
 |
38. Вагон массой 20 т движется равнозамедленно, имея начальную скорость 36 км/час и ускорение 0,2 м/с2. Какое расстояние он пройдет до остановки?
39. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый двигался по закону приведенному на графике 1 (рис.18 а), второй - на графике 2 (рис.18 б). Какой автомобиль достигнет пункта назначения первым?
 |
40. Камень падает с высоты 100 м с начальной нулевой скоростью. Какой путь он пройдет за последние 0,2 с своего движения?
41. Камень падает с высоты 100 м с начальной нулевой скоростью. За какое время он пролетит последние 10 м своего пути?
42. Космическая ракета после вертикального старта поднялась на высоту 5 км за 10 с. С каким ускорением стартовала ракета? Сопротивлением воздуха пренебречь.
43. Свободно падающее тело в некоторой точке имело скорость 20 м/с, а в другой точке - 40 м/с. Найти расстояние между этими точками.
44. Стрела, выпущенная вертикально вверх со скоростью 40 м/с попадает в цель через 2 с. На какой высоте находилась цель? Какова была скорость стрелы при попадании ее в цель?
45. Камень, брошенный горизонтально с высоты 20 м, упал на землю на расстоянии 15 м от места броска. Определить начальную и конечную скорости камня. Показать их направления.
46. Камень бросили с начальной скоростью 10 м/с под углом 60˚ к горизонту с высоты 1 м от поверхности земли. Попадет ли он в цель, находящейся на поверхности земли расстоянии 30 м от места бросания?
47. Мяч брошен под углом 30˚ к горизонту с начальной скоростью 5 м/с. Максимальная высота подъема мяча равна ….
48. С самолета, летящего горизонтально со скоростью 800 км/час на высоте 1 км сбрасывают бомбу. На каком расстоянии от места сброса будет находиться самолет, когда бомба достигнет земли?
КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
49. Сплошной диск вращается вокруг оси, проходящей через центр массы, в направлении стрелки. Для двух точек обода указаны вектора линейных скоростей υ1 и υ2 (рис.19). Какой из рисунков можно считать правильным?
50. В автомобильных гонках участвуют два автомобиля. У первого автомобиля диаметр колес 0,7 м, у второго - 0,5м. Колеса первого при движении вращаются с частотой 10 об/с, второго - 15 об/с. У какого автомобиля больше шансов выиграть гонку?
 |
51. Колесо диаметром 1 м движется по дороге с линейной скоростью 2 м/с. Определить угловую скорость вращения колеса.
52. По горизонтальной дороге катится обруч радиусом 30 см со скоростью 5 м/с. Каково ускорение различных точек обруча?
53. Тело движется равномерно по окружности по часовой стрелке (рис.20). Вектор ускорения при таком движении направлен по стрелке …
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
 |
54. Тело вращается равномерно с угловой скоростью 2 рад/с по окружности радиуса 1 м. Чему равно нормальное, тангенциальное и полное ускорения тела?
55. Автомобиль движется с постоянной по модулю скоростью по траектории, представленной на рис.21. Нормальное (или центростремительное) ускорение минимально
1) 1 2) 2 3) 3 4) Во всех точках одинаково
56. Уравнение движения материальной точки по окружности в системе СИ имеет вид φ = 3 t 4 + 1. Найти угловое ускорение для момента времени 1 с.
57. Твердое тело вращается вокруг оси по закону w = 0,3t2 + 0,1, (рад/с). Это движение является а) равномерным; б) ускоренным; в) равноускоренным; г) равнозамедленным; д) замедленным? Выбрать правильный ответ.
58. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = A + Bt + Сt 2, где А = 10 рад; В = 4 рад /с; С = -1 рад /с2. Определить полное ускорение точки, находящейся на расстоянии 1 м от оси вращения в момент времени t = 4 с.
59. Вращаясь по окружности радиуса 2 м, материальная точка сделала четверть оборота за 10 с. Найти перемещение точки и пройденный ею путь.
60. Вращаясь равномерно по окружности, материальная точка сделала 2 оборота за 10 с. Определить угловую скорость вращения.
61. Вращаясь по окружности радиуса 2 м, материальная точка сделала четверть оборота за 10 с. Определить среднюю угловую скорость движения точки за это время.
62. Материальная точка начала вращаться с постоянным угловым ускорением из положения 1 и через 0,1с оказалась в положении 2 (рис.22). Найти угловые ускорение и скорость в точке 2. Указать направления тангенциального, нормального и полного ускорений, а также линейной и угловой скоростей для положения 2.
63. Угловое ускорение вращающегося маховика меняется по закону ε = 0,15t. Определить среднюю скорость маховика за первые три секунды вращения.
64. Дать характеристику движению, приведенному на графике (рис.23). Построить график зависимости ε(t) и φ(t). Считать φ0 = 0.
 | |||
| |||
65. Воспользовавшись графиком предыдущего задания, найти среднее угловое ускорение и угловой путь вращающегося тела за 2 с движения.
66. Тело вращается равнозамедленно с начальной угловой скоростью 10 с-1 и угловым ускорением 2 с-2. Сколько оборотов сделает тело за 5 с?
67. Вертолет и самолет летят навстречу друг другу: первый со скоростью υ, второй - 2υ относительно Земли. Какова скорость самолета относительно вертолета?
68. Тело движется по криволинейной траектории. Пройденный путь меняется со временем по закону s = 2 + 0,5 t 2,м. Определить нормальное, тангенциальное и полное ускорение при t = 1 с. Радиус кривизны траектории движения в этот момент времени равен 50 см. Какова средняя скорость за 1 с движения?
ПРИЛОЖЕНИЕ
Т а б л и ц а 1
Множители и приставки
