Принцип суперпозиции магнитного поля

Направление линий индукции магнитного поля прямого бесконечно длинного проводника определяется по правилу правого винта: если правый винт вращать таким образом, что его ход совпадает с направлением тока в прямом проводнике, то вращение его рукоятки покажет направление линий магнитной индукции (при этом вектор магнитной индукции направлен по касательной в каждой точке получившейся окружности); если имеем круговой виток с током, то вращение рукоятки правого винта должно совпадать с направлением тока в витке, тогда ход винта покажет направление вектора магнитной индукции.

 

Пример 21. Имеется прямой бесконечный ток, текущий от нас (за плоскость рисунка). Показать направление линий магнитной индукции и направление вектора магнитной индукции .

На рисунке ниже показан ток (кружок с крестиком показывает, что ток течет за плоскость рисунка перпендикулярно ей). По правилу правого винта определяем направление линий магнитной индукции (они образуют окружности вокруг тока, их направление показано стрелкой). При этом вектор магнитной индукции будет направлен по касательной к окружностям в каждой точке.

 

 

 

 

Пример 22. Имеются прямые бесконечные токи, текущие, как показано на рисунке ниже. Показать направление линий индукции магнитного поля.

I I

А В С D

 

 

Направление линий магнитной индукции ищем по правилу правого винта, они будут замкнуты, и иметь вид окружностей вокруг тока. Их направление показано на рисунке стрелкой. Вектор магнитной индукции будет направлен по касательной в каждой точке этих окружностей: в точке А он будет направлен к нам из-за плоскости рисунка, в точке В – от нас за плоскость рисунка, в точке С – от нас за плоскость рисунка, в точке D – к нам из-за плоскости рисунка.

Если магнитное поле создано не одним, а несколькими токами, то результирующее поле находят с помощью принципа суперпозиции полей:

. (3.3.1)

Поскольку сумма (3.3.1) является векторной, то складывать векторы магнитной индукции _i удобно, проектируя их на выбранные оси координат x и y (если токи протекают в одной плоскости) и x, y и z (если токи протекают в разных плоскостях). При этом необходимо помнить несколько формул для расчета величины магнитной индукции поля, созданного проводниками с током разных конфигураций:

а) , (3.3.2)

– индукция магнитного поля прямого бесконечно длинного проводника с током I на расстоянии R от него (m₀ – магнитная постоянная, m₀ = 4p×10^–7 Гн/м).

б) , (3.3.3)

– индукция магнитного поля прямого полубесконечного проводника с током I на расстоянии R от его конца.

в) , (3.3.4)

– индукция магнитного поля в центре витка с током I, радиус витка равен R.

г) (3.3.5)

– индукция магнитного поля в центре дуги с током I радиуса R с углом разворота a (угол a необходимо подставлять в формулу в радианах!).

При этом линейный прямой ток, текущий в точку, в которой надо найти результирующую индукцию магнитного поля, магнитное поле в ней не создает и В = 0.

Пример 23. Электрический ток течет по длинному проводу, изогнутому так, как показано на рисунке ниже. Найти индукцию магнитного поля, созданного этим током в центре окружности I = 1 А, R = 1 м.

I

 

Дано: I = 1 А,

R = 1 м.

Найти: В_рез.

Решение. Пронумеруем три участка проводника с током слева направо для удобства решения задачи. При этом, как было отмечено выше, участки 1 и 3 магнитное поле в точке О не создают, поскольку направлены в эту точку (или, как на участке 3, из нее). Поэтому В ₁ = В ₃ = 0. Магнитное поле в точке О будет создавать только участок проводника под номером два. Это дуга с углом разворота a = p (a = 180°, но мы должны подставлять в формулу (3.3.5) угол в радианах).

Запишем исходные формулы для нахождения магнитного поля В_рез (это формулы (3.3.1) и (3.3.5)):

, .

Из (3.3.1) следует:

В_рез = В ₁ + В ₂ + В ₃ = В ₂ = = 3,14×10^–7 Тл.

Вектор В ₂ в точке О направлен по правилу правого винта от нас, за плоскость рисунка перпендикулярно ей.

Ответ: 3,14×10^–7 Тл.

 

Пример 24. Электрический ток I = 1 А течет по длинному проводу, изогнутому так, как показано на рисунке ниже. Найти величину индукции магнитного поля, созданного этим током в центре окружности радиуса R = 1 м.

I

Дано: I = 1 А,

R = 1 м.

Найти: В_рез.

Решение. Пронумеруем три участка проводника с током слева направо для удобства решения задачи. Участок 3 магнитное поле в точке О не создает, поскольку направлен из нее). Поэтому В ₃ = 0. Магнитное поле в точке О будут создавать участки проводника 1 и 2. Участок 1 – это прямой полубесконечный ток, участок 2 – дуга с углом разворота a = p (в (3.3.5) подставляет угол в радианах).

Запишем исходные формулы для нахождения величины результирующего магнитного поля В_рез (это формулы (3.3.1), (3.3.3) и (3.3.5) соответственно):

, .

Поскольку токи, создающие магнитное поле, протекают в одной плоскости, проекции векторов магнитной индукции от различных участков провода с током мы будем проектировать на одну выбранную ось координат x. Направление векторов магнитной индукции в точке О определим с помощью правила правого винта. Участок 1 – прямой ток, магнитные линии – это окружности вокруг проводника, в точке О вектор магнитной индукции будет направлен по касательной к окружности к нам из-за плоскости рисунка перпендикулярно ей:

О (вектор В ₁ направлен к нам)

 

 

Вектор В ₂ (участок 2) в точке О будет направлен по правилу правого винта от нас за плоскость рисунка перпендикулярно ей. Выберем направление оси координат x из-за плоскости рисунка (к нам). Таким образом, вектор магнитной индукции В ₁ направлен в направлении оси x, а вектор В ₂ – в направлении, противоположном оси x.

Из (3.3.1) следует: В_рез = В ₁ – В ₂,(В ₃ = 0),

, ,

В_рез = В ₁ – В ₂ = = 1×10^–7 – 3,14×10^–7 = – 2,14×10^–7 Тл.

Ответ: – 2,14×10^–7 Тл.

 

Пример 25. Токи I ₁ и I ₂текут по двум одинаковым виткам радиуса R с общим центром в перпендикулярных плоскостях. Найти величину индукции магнитного поля, созданного этими токами в центре витков. I ₁ = 2 А, I ₂ = 1 А, R = 1 м.

Дано: I ₁ = 2 А,

I ₂ = 1 А,

R = 1 м.

Найти: В_рез.

x

I2

I1

z

Решение. Как и в предыдущих примерах 23 и 24, записываем исходные формулы для решения задачи (это формулы (3.3.1) и (3.3.4) соответственно):

, .

Для того чтобы воспользоваться формулой (3.3.1), необходимо выбрать оси координат, на которые мы будем проектировать векторы магнитной индукции ₁ и ₂. Токи, создающие магнитное поле в точке О (в центре витков с током), расположены в разных плоскостях, поэтому оси координат будут взаимно перпендикулярны (пусть это будут оси координат x и z). По правилу правого винта находим направление векторов магнитной индукции ₁ и ₂: вектор ₁ будет направлен против оси z, а вектор ₂ – по оси x:

 

_{рез 2}

₁ О

Как видно из рисунка, чтобы найти модуль результирующего вектора магнитной индукции В_рез необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:

. (3.3.6)

При этом:

(3.3.7)

– магнитная индукция в центре витка (точке О) создаваемая витком с током I ₁,

(3.3.8)

– магнитная индукция в центре витка (точке О) создаваемая витком с током I ₂.

Подставим числовые данные в формулы (3.3.7) и (3.3.8), а затем полученные результаты – в формулу (3.3.6), получим окончательный ответ:

В_рез = 1,4×10^–6 Тл.

Ответ: 1,4×10^–6 Тл.

 

Силы Ампера и Лоренца

Сила Ампера действует на проводник с током, который помещен в магнитное поле. Направление силы Ампера находят с помощью правила левой руки: если четыре пальца левой руки направлены по направлению тока в проводнике, а линии магнитной индукции входят в ладонь, то отогнутый на 90° большой палец левой руки покажет направление силы Ампера.

Модуль силы Ампера определяется выражением:

F_A = IBlsina, (3.3.9)

где F_A – модуль силы Ампера, I – сила тока в проводнике, l – длина прямого проводника, B – магнитная индукция, a – угол между проводником и вектором магнитной индукции.

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует магнитная составляющая силы Лоренца. Направление магнитной составляющей силы Лоренца находят с помощью правила левой руки (для положительного заряда): если четыре пальца левой руки направлены по скорости движения частицы, а линии магнитной индукции входят в ладонь, то отогнутый на 90° большой палец левой руки показывает направление силы Лоренца. Если в магнитном поле движется отрицательно заряженная частица, то направление магнитной составляющей силы Лоренца находят с помощью правила правой руки: если четыре пальца правой руки направлены по скорости движения частицы, а линии магнитной индукции входят в ладонь, то отогнутый на 90° большой палец правой руки показывает направление силы Лоренца.

Модуль силы Лоренца:

F_Л = qVBsina, (3.3.10)

где F_Л – модуль магнитной составляющей силы Лоренца, q – заряд частицы, V – скорость заряженной частицы, с которой она движется в магнитном поле, B – магнитная индукция, a – угол между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции.

Заряженная частица, влетающая в магнитное поле под углом 90°к вектору магнитной индукции В, в поле движется по окружности. Для этой частицы можно записать второй закон Ньютона:

F_Л = ma_ц = mV ²/ R = qVB, (3.3.11)

где m – масса заряженной частицы, a_ц – ее центростремительное (нормальное) ускорение, V – скорость частицы, R – радиус окружности, по которой она движется.

Период обращения заряженной частицы по окружности радиуса R с постоянной скоростью V:

Т = 2 p R / V. (3.3.12)

 

Пример 26. В магнитном поле движется прямолинейный проводник с током, сила тока в котором составляет 1 А, длина проводника 1 м. Магнитная индукция равна В = 0,1 Тл, на проводник действует сила Ампера, равная 2 Н. Найти угол между проводником и вектором магнитной индукции.

Дано: F_A = 1 Н,

I = 4 А,

B = 1 Тл,

l = 1 м.

Найти: a.

Решение. Запишем исходную формулу для нахождения силы Ампера (это формула (3.3.9)):

F_A = IBlsina,

откуда выразим вначале sina, а затем уже и сам угол a:

sina = F_A /(IВl), Þ a = arcsin [ F_A /(IВl)] = arcsin (0,25) = 14,5°.

Ответ: 14,5°.

Пример 27. Заряженная частица с зарядом 1 нКл и массой

10^–20 кг движется в магнитном поле по окружности. Скорость движения частицы составляет 1000 м/с. На частицу со стороны магнитного поля действует сила Лоренца, равная 0,002 Н. Найти радиус окружности, по которой движется частица, а также период обращения частицы по окружности.

Дано: q = 1 нКл = 1×10^–9 Кл,

V = 1000 м/с,

F_Л = 0,002 Н,

m = 10^–20 кг.

Найти: R, T.

Решение. Запишем исходные формулы для расчета искомых в задаче величин – формулы (3.3.10), (3.3.11), (3.3.12):

F_Л = qVBsina (a = 90° по условию)

F_Л = ma_ц = mV ² /R = qVB,

Т = 2 p R V.

Радиус окружности выразим из (3.3.11):

R = mV/qB. (3.3.13)

После подставки (3.3.13) в (3.3.12) получим для периода обращения заряженной частицы по окружности:

Т = 2 p R / V = (2 p mV)/(VqB) = (2 p m)/(qB). (3.3.14)

Магнитную индукцию выразим из (3.3.10):

В = F_Л / qV. (3.3.15)

Подставим (3.3.15) в (3.3.13) и (3.3.14) и получим окончательно для радиуса окружности и периода обращения частицы по окружности:

R = mV / qB = (mVqV)/(qF_Л) = mV ²/ F_Л = 5×10^–12 м.

Т = (2 p m)/(qB) = (2p mV)/ F_Л = 3,14×10^–14 с.

Ответ: 5×10^–12 м; 3,14×10^–14 с.