Пусть некоторый замкнутый контур Г находится в неоднородном магнитном поле. Контур Г ограничивает поверхность S, как показано на рисунке ниже. Поток индукции F магнитного поля через поверхность S – это величина, которая определяется выражением
F = ò BdScosa, (3.3.16)
где B – магнитная индукция, a – угол между вектором магнитной индукции и нормалью к площадке поверхности dS, которую магнитное поле пронизывает.
a 
dS
Если поверхность S, ограниченная контуром Г, плоская и имеет, к примеру, форму круга или квадрата, то интеграл (3.3.16) по этой поверхности превращается в выражение
F = ò BdScosa = BScosa, (3.3.17)
где S = pR 2, если поверхность – круг радиуса R,
S = а 2, если поверхность – квадрат со стороной а.
Закон электромагнитной индукции Фарадея: при изменении магнитного потока F через поверхность S, опирающуюся на замкнутый проводящий контур Г, в нем возникает ЭДС электромагнитной индукции:
. (3.3.18)
Поток F может изменяться вследствие следующих причин:
1. Изменяется площадь S поверхности, ограниченной контуром Г.
2. Изменяется угол a между вектором магнитной индукции и нормалью к площадке поверхности dS, которую магнитное поле пронизывает (это может происходить, когда контур вращается в магнитном поле).
3. Изменяется индукция магнитного поля .
Протекая по замкнутому проводнику, ток I создает магнитное поле и магнитный поток, пронизывающий площадь, охватываемую проводником. Величина такого магнитного потока пропорциональна величине тока в нем:
F = L×I. (3.3.19)
Здесь L – индуктивность контура.
В случае если протекающий по контуру Г ток начинает изменяться с течением времени, в этом контуре возникает ЭДС самоиндукции
, (3.3.20)
а явление носит название самоиндукции.
Знак «–» в формулах (3.3.18) и (3.3.20) означает, что при изменении магнитного потока сквозь замкнутый контур в нем возникает такая ЭДС, которая стремится уменьшить изменение потока. Это правило Ленца.
Пример 28. Квадратный проводящий контур со стороной
а = 1 см пронизывает однородное магнитное поле под углом
a = 30° к вектору нормали контура. Найти модуль ЭДС индукции в контуре в момент времени t = 2с, если А = D = 1 Тл, t = 1с,
B (t) = A (t / t) + D (t / t)4.
Дано: а = 1 см = 0,01 м.
a = 30°,
А = D = 1 Тл,
t = 1с,
t = 2с,
B (t) = A (t / t) + D (t / t)4.
Найти: ½ Еинд ½.
Решение. Запишем исходные формулы для модуля ЭДС индукции (это формулы (3.3.17) и (3.3.18)):
F = ò BdScosa = BScosa,
.
По условию задачи контур квадратный, его площадь будем вычислять по формуле:
S = а 2.
Подставим в (3.3.18) закон изменения магнитной индукции В от времени, данный в условии задачи, и продифференцируем по времени:
= 
[ A (t / t) + D (t / t)4] Scosa = (А / t + 4 Dt 3/ t 4) Scosa =
= (А / t + 4 Dt 3/ t 4) a 2 cosa = 2,86×10–3 В.
Ответ: 2,86×10–3 В.
Замечание. Если в условии задачи сказано, что проводящий контур пронизывает однородное магнитное поле под углом a к плоскости контура, мы то имеем следующую картину:
b
a
Поскольку в формулах (3.3.16)–(3.3.17) угол a – это угол между нормалью к контуру и вектором магнитной индукции, то, как следует из нашего рисунка, в (3.3.16)–(3.3.17) мы должны подставлять угол b = 90° – a.
Пример 29. По проводящему контуру индуктивностью
L = 1 Гн течет ток, изменяющийся со временем по закону
I (t) = B (t / t)2. Найти момент времени, в который величина ЭДС самоиндукции в контуре составляет 2 В, если В = 1А, t = 1с.
Дано: I (t) = B (t / t)2,
Есамоинд = 2 В,
В = 1А,
t = 1с,
L = 1 Гн,
Найти: t.
Решение. Время t выразим из (3.3.20):
.
Поскольку в условии задачи речь идет о модуле ЭДС самоиндукции, то знак «–» в (3.3.20) сменится на обратный. Подставим в (3.3.20) закон изменения силы тока, данный в условии задачи и продифференцируем по времени:
[ L (B (t / t)2)] = 2 LBt/t 2,
откуда выразим время t:
t = (½ Есамоинд ½ t 2)/(2 LB) = 1 с.
Ответ: 1 с.
Электрические колебания
Если колебательный контур состоит из последовательно соединенных конденсатора и катушки индуктивности с нулевым омическим сопротивлением, то колебания в таком контуре будут незатухающими (собственными). Уравнение собственных гармонических незатухающих колебаний:
q = q 0 cos (w 0 t + a 0), (3.3.21)
где q 0 – амплитудное значение заряда на конденсаторе, w 0 – циклическая частота собственных незатухающих колебаний, a 0 – начальная фаза колебаний.
Собственная частота незатухающих колебаний w 0 определяется выражением
w 0 = 
, (3.3.22)
где L – индуктивность катушки индуктивности, С – емкость конденсатора.
Если колебательный контур состоит из последовательно соединенных резистора (омического сопротивления) с сопротивлением R, конденсатора емкостью С и катушки индуктивности с индуктивностью L, то колебания в таком контуре будут затухающими, а уравнение затухающих колебаний будет выглядеть так:
q = q 0 exp (–bt) cos (wt + a 0). (3.3.23)
Здесь w – циклическая частота собственных затухающих колебаний, определяемая выражением
w = 
, (3.3.24)
b – коэффициент затухания, причем
b = 
. (3.3.25)
Импедансом Z называется полное сопротивление цепи, которая содержит омическое сопротивление (оно еще называется активным), катушку индуктивности и конденсатор:
Z = 
. (3.3.26)
Период колебаний в контуре, если в нем совершаются собственные незатухающие колебания, определяется выражением
Т = 1/ n = 2 p / w 0. (3.3.27)
Для случая собственных затухающих колебаний период колебания следует вычислять по формуле
Т = 2 p / w, (3.3.28)
где частота w определяется выражением (3.3.24).
Пример 30. Определить коэффициент затухания и емкость колебательного контура аппарата УВЧ, если активное сопротивление R = 4,3×103 Ом, индуктивность катушки L = 65мкГн, а частота электрических колебаний в контуре составляет n = 20 МГц.
Дано: R = 4,3×103 Ом,
L = 65мкГн = 65×10–6 Гн,
n = 20 МГц = 20×106 Гц.
Найти: b, С.
Решение. Поскольку в колебательном контуре имеется омическое сопротивление, то колебания будут затухать. Запишем исходные формулы для решения задачи. Для нахождения коэффициента затухания воспользуемся формулой (3.3.25):
b = ,
подставим в нее числовые данные: b = = 33×106 с–1.
Емкость конденсатора найдем с помощью выражений (3.3.22) и (3.3.24):
w 0 = , w = .
Собственная частота затухающих колебаний w нам неизвестна, но мы знаем, как связаны между собой частота n и циклическая частота:
w =2 pn, (3.3.29)
поэтому
2 pn = w = .
Выразим из (3.3.24) частоту w 0, а затем и емкость конденсатора:
w 0 = 
= , откуда С = 
= 3×10–12 Ф.
Ответ: 33×106 с–1; 3×10–12 Ф.
Пример 31. Колебательный контур состоит из двух конденсаторов, соединенных последовательно, емкостью 10000 пФ каждый и соленоида. Определить индуктивность катушки, если контур резонирует на частоту волны 300 кГц.
Дано: w р = 300 кГц = 300000Гц,
С 1 = С 2 = С = 10000 пФ = 10–8 Ф.
Найти: L.
Решение. Резонансная частота определяется формулой (3.3.22):
w р = ,
откуда легко выразить искомую в задаче индуктивность катушки:
L = 1/(C общ w р2).
Здесь C общ – общая емкость батареи из двух последовательно соединенный конденсаторов, которую находим из формулы (2.3.34):
1 /C общ = 1/ С 1 + 1/ С 2, откуда C общ = С 1 С 2/(С 1 + С 2) = С /2 = 5×10–9 Ф.
Тогда для индуктивности имеем:
L = 1/(C общ w р) = 2/(Cw р2) = 2,2×10–3 Гн.
Ответ: 5×10–9 Ф; 2,2×10–3 Гн.
Медицинская электроника
Для медицинской аппаратуры проблема надежности особенно актуальна, так как выход приборов и аппаратов из строя может привести не только к экономическим потерям, но и гибели пациентов.
Надежность – это способность изделия не отказывать в работе в заданных условиях эксплуатации и сохранять свою работоспособность в течение данного интервала времени.
Надежность имеет вероятностный характер.
Вероятность безотказной работы оценивается экспериментально отношением числа N исправных на данный момент t изделий к общему числу N0 изделий, взятых для испытаний:
Р (t) = N (t)/ N 0. (3.3.20)
