Экстре́мум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.
Необходимое условие экстремума
Функция g(x) в точке 
имеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки и для всех точек x некоторой области: 
, выполнено соответственно неравенство
(в случае максимума) или 
(в случае минимума).
Экстремум функции находиться из условия: 
, если производная существует, т.е. приравниваем первую производную функции к нулю.
Достаточное условие экстремума
1) Первое достаточное условие:
Если:
а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.
б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции
в) производная сохраняет определенный знак справа от точки и слева от этой же точки, тогда точку можно охарактеризовать следующим образом 
Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.
2) Второе достаточное условие
Если функция g(x) обладает второй производной 
причем в некоторой точке первая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точка экстремум функции g(x), причем если 
, то точка является максимумом; если 
, то точка является минимумом.
3) Третье достаточное условие
Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки N производных, причем значение первых (N - 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:
а) Если N - четно, то точка экстремум функции: 
у функции точка максимума, 
у функции точка минимума.
б) Если N - нечетно, то в точке у функции g(x) экстремума нет.
Наибольшее и наименьшее значение функции.
Наибольшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение 
, что для любого 
справедливо неравенство 
.
Наименьшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение 
, что для любого справедливо неравенство 
.
Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе 
.
Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.
