Необходимые условия возрастания и убывания функции в точке и на интервале

Производная сложной функции.

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

Формула нахождения производной сложной функции.

8. Уравнение касательной. Уравнение нормали.

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x ₀, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [ a; b ].Тогда в любой точке x ₀ ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x ₀) · (x − x ₀) + f (x ₀)

Здесь f ’(x ₀) — значение производной в точке x ₀, а f (x ₀) — значение самой функции.

Уравнение нормали к графику функции f

(x) в точке x ₀, при условии, что f

' (x ₀) ≠ 0 имеет вид:

Правило Лопиталя. Условия применения.

ПравилоЛопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Условия:

1. или ;

2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;

3. в проколотой окрестности ;

4. существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

Необходимые и достаточные условия возрастания, убывания функции.

Достаточные условия возрастания и убывания функции в точке и на интервале

Теорема. Для того чтобы функция f (x), дифференцируемая в точке х ₀ Î (а, b), возрастала (убывала) в точке х ₀, достаточно, чтобы f ' (x ₀) > 0 (f ' (x ₀) < 0).
Доказательство. Так как по условию f (x) дифференцируема в точке х ₀ Î (а, b), то существует предел

В достаточно малой окрестности точки х ₀ имеем

где sign A означает "знак выражения А". Для случая f ' (x ₀) > 0 имеем sign f ' (x ₀) = + 1, поэтому

sign (f (x ₀ + h) − f (x ₀)) = sign (h).

Откуда следует f (x ₀ − h) < f (x ₀) < f (x ₀ + h), что означает возрастание функции в точке.

Необходимые условия возрастания и убывания функции в точке и на интервале

Теорема. Для того чтобы функция f (x), дифференцируемая в точке х ₀ Î (а, b), возрастала (убывала) в точке x ₀, необходимо, чтобы её производная в точке х ₀ была неотрицательной f ' (x₀) ≥ 0 (неположительной f ' (x₀) ≤ 0).
Доказательство. Пусть функция f (x) возрастает в точке х ₀ Î (а, b) и справедливы неравенства

f (x ₀ − h) < f (x ₀) < f (x ₀ + h)

В этом случае для положительного приращения h имеем

и .

Выполняя предельный переход в неравенствах, получим

Аналогично

Так как функция имеет производную в точке, то

что и требовалось доказать.
Определение. Функция f (x) называется строго возрастающей (убывающей) на отрезке [ а, b ], если для любых значений аргументов из этого отрезка большему значению аргумента соответствует строго большее (меньшее) значение функции.
Как следствие теоремы Лагранжа можно сформулировать теорему.
Теорема. Если функция f (x) определена на отрезке [ а, b ], дифференцируема в точках х Î (а, b) и

f ' (x) > 0, (f ' (x) < 0),

то функция f (x) возрастает (убывает) на отрезке [ а, b ].
Доказательство. Применим теорему о конечных приращениях для двух произвольных точек х₁ < х₂ Î [ а, b ]

f (x ₂) − f (x ₁) = f ' (c)·(x ₂ − x ₁),

где с Î (x ₁; x ₂). Из этого соотношения следует

sign (f (x ₂) − f (x ₁)) = sign f ' (c)

В случае f ' (x) > 0 для всех х Î (а, b) имеем f (x ₂) > f (x ₁), и большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Что свидетельствует о возрастании функции.