Поскольку Дебаевская длина экранирования равна 4 страница

 

3.5. НЕРАВНОВЕСНЫЕ НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ.

Кроме теплового возбуждения возможны и другие способы генерации свободных носителей в полупроводниках: под действием света, ионизирующих частиц, инжекции через контакт и другие.

Действие таких факторов приводит к появлению избыточных, по сравнению с равновесными, свободных носителей. Концентрация избыточных, или неравновесных носителей может быть выражена через полную концентрацию и равновесную:

 

где n₀, p₀ – концентрация равновесных носителей.

 

 

При измененной интенсивности внешнего фактора концентрация избыточных носителей растет в начале быстро, а затем, вследствие увеличивающейся скорости рекомбинации, ее рост замедляется и в конце концов устанавливается стационарное состояние, при котором скорость генерации G равна скорости рекомбинации R носителей.

Вводят среднее время жизни носителей, которое для электронов обозначают τ_n, для дырок τ_p.

Если, например, под действием света в полупроводнике возбуждены избыточные носители с концентрацией ∆n=∆p, то после выключения света эти носители будут рекомбинировать и их концентрация начнет постепенно уменьшаться. Так как каждый избыточный носитель, например, электрон, живет, в среднем τ_n, то в одну секунду их прорекомбинирует ∆n/ τ, где ∆n – концентрация избыточных носителей в данный момент времени. Поэтому скорость рекомбинации равна

(3.29)

 

 

(3.30)

 

 

Результат интегрирования этих уравнений:

 

 

(3.31)

 

где ∆n₀ – избыточная концентрация носителей в начальный момент времени.

Из (3.31) следует, что за τ_n и τ_p избыточная концентрация уменьшается в е=2,73 раза.

Носители заряда, диффундируя в объеме полупроводника, за время своей жизни перемещаются в среднем на расстояние L, которое называют диффузионной длиной носителей. Как показывает расчет, L следующим образом зависит от τ:

 

(3.32)

 

где D_n и D_p – коэффициенты диффузии носителей, связанные с их подвижностью соотношениями Эйнштейна

 

D_n=kTu_n/q, D_p=kTu_p/q.

 

Процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону при рекомбинации может протекать или непосредственно через всю запрещенную зону ξg или через примесный уровень ξ_пр.

Первый тип рекомбинации называют межзонным, второй – рекомбинацией через примесный уровень.

В условиях теплового равновесия скорость межзонной рекомбинации R₀ пропорционально концентрации электронов n₀ и дырок p₀ и равна скорости генерации G:

 

 

(3.33)

 

Коэффициент пропорциональности

(3.34)

 

 

называют коэффициентом рекомбинации. При низком уровне возбуждения, когда ∆n, ∆p<<(n₀+p₀) скорость рекомбинации избыточных носителей пропорционально их концентрации:

(3.35)

 

Такую рекомбинацию называют линейной.

При высоком уровне возбуждения, когда ∆n=∆p>>(n₀+p₀) скорость рекомбинации избыточных носителей пропорциональна квадрату их концентрации:

 

(3.36)

 

Такую рекомбинацию называют квадратичной. Время жизни неравновесных носителей при линейной рекомбинации:

 

(3.37)

 

а при квадратичной рекомбинации:

(3.38)

 

 

Выделение энергии при межзонной рекомбинации может происходить в виде квантов света, или в виде теплоты (фононов). В первом случае рекомбинацию называют излучательной, во втором – безизлучательной.

Межзонная излучательная рекомбинация имеет существенное значение для полупроводников с узкой запрещенной зоной при относительно высоких температурах. Для полупроводников с широкой запрешенной зоной основным механизмом, ответственным за рекомбинацию, является безизлучательная рекомбинация через локальные примесные уровни [I].

Изменения концентрации носителей заряда в тех или иных областях может происходить не только за счет их генерации или рекомбинации, но и за счет перемещения их по кристаллу, то есть за счет протекания токов. Движение носителей заряда в полупроводнике в общем случае обусловлено двумя процессами: диффузией под действием градиента их концентрации и дрейфом под действием электрического поля.

Плотность тока, обусловленного диффузией электронов

пропорциональна градиенту концентрации:

(3.39)

 

 

где D_p, D_n – коэффициенты диффузии электронов и дырок, размерность которых – м ² /с

физически коэффициент диффузии представляет собой скорость, с которой система способна при заданных условиях выравнять разность концентраций. Эта скорость зависит от температуры и энергии связи примесных атомов в решетке, количества вакансий, постоянной решетки, частоты колебаний атомов и целого ряда других причин.

Изменения концентраций избыточных носителей заряда описываются уравнениями непрерывности, которые имеют вид для одномерного случая:

(3.40)

 

 

(3.41)

 

Как следует из (3.40) и (3.41) изменение концентрации избыточных носителей определяется следующими факторами: генерацией, рекомбинацией, наличием электрического поля и градиента концентрации.

В наиболее общем виде для трехмерного случая (3.40) и (3.41) можно представить в следующем виде:

 

(3.42)

 

(3.43)

 

 

Пример 8. Концентрация неравновесных носителей заряда.

В полупроводнике под действием света образуются равномерно распределенная избыточная концентрация носителей ∆n. Скорость рекомбинации электронов и дырок пропорциональна ∆n. Определить зависимость ∆n от времени t после резкого отключения источника света.

Если равновесная концентрация неосновных носителей тока составляет 10²⁰ м ^–3, а начальная скорость уменьшения концентрации носителей равна 7,1 ·10 ²³ в 1 с.

Определить: время жизни неосновных носителей; значения ∆n через 2мс после выключения источника света.

Какие возникают эффекты, если избыточные носители образуются в каком то локальном объеме, а не равномерны по всему образцу?

Решение:

В момент t=0 (освещение выключается) скорость рекомбинации электронов и дырок пропорциональна избыточной концентрации носителей тока ∆n:

 

.

 

 

Интегрируя после разделения переменных, получим

 

где C₁=ln(∆n) при t=0, тогда

 

.

 

Это выражение описывает зависимость концентрации избыточных носителей от времени после включения источника света. Если полученное выражение продифференцировать по t и положить t=0, то получим начальную скорость уменьшения концентрации:

 

 

Далее находим время жизни неосновных носителей тока:

 

Избыточная концентрация носителей через 2мс после включения света будет равна

Если избыточные носители образуются в локальной области образца, то будет происходить диффузия из области с высокой концентрацией носителей.

Концентрация носителей, как функция расстояния, определяется:

где Ln – диффузионная длина избыточных носителей.

 

3.6. ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 3

3.6.1. В некоторой точке однородного электронного полупроводника световым зондом генерируются пары носителей. Считая задачу одномерной, определить диффузионную длину дырок, если концентрация неравновесных носителей на расстоянии x₁=2мм от зонда равна ∆p=10¹⁴см^-3, а на расстоянии x₂=4,3мм ∆p=10¹³см^-3.

3.6.2. Определить время жизни τ электронно-дырочных пар, если в момент времени t₁=10^-4c после выключения генерации неравновесная концентрация носителей оказалась в 10 раз больше, чем в момент времени t₂=10^-3c.

3.6.3. Определить коэффициент диффузии электронов в невырожденном германии при комнатной температуре (300 К), если подвижность их равна U_n=3800см²/(В·с).

3.6.4. Определить ширину запрещенной зоны собственного полупроводника, если при температуре T₁=300 K его удельного сопротивления ρ₁=0,4Ом·м, а при T=500K-ρ₂=0,001Ом·м. Температурной зависимостью подвижности пренебречь.

3.6.5. Концентрация акцепторов в полупроводнике p – типа Na=10²³м^-3, энергия их ионизации ξа=0,05эВ. Определить удельную электропроводность материала при температуре T₁=77K и T₂=300K, если подвижность дырок U_p=0,01 м²/(В·с) и не зависит от температуры.

3.6.6. В медном проводе с площадью поперечного сечения

2·10 ^–5 м ² протекает ток 1А. Чему равна средняя скорость дрейфа электронов, если их концентрация Π=10²⁸м^-3?

3.6.7. Удельное сопротивление монокристалла кремния p – типа при температуре Т=300 К равно ρ=6·10^-4Ом·м, концентрация акцепторной примеси Na=5,6·10²⁶м^-3, диффузионная длина дырок L_p=3·10^-4м. Определить время жизни дырок в этом материале.

3.6.8. Электроны инжектируются с одного конца образца кремния дырочной проводимости с концентрацией акцепторов 10 ¹⁶ см ^–3 , а собираются на другом конце полупроводника. Вычислить напряженность электрического поля в направлении тока, если через образец течет электронный ток плотностью 1 А· см ^–2 , а дырочным током всюду в образце можно пренебречь. Считать подвижность электронов в образце равной 1400 см² / (В·с).

3.6.9. На одной стороне образца германия n – типа имеется инжектирующий контакт. При некотором напряжении смещения концентрация дырок у контакта увеличивается до 10²⁰ м ^–3. Кроме того, заданы следующие параметры образца: удельное сопротивление ρ=2·10^-2Ом·м, время жизни носителей τ=10^-4с, подвижность электронов и дырок U_n=0,36м²/(В·с) и U_p=0,17м²/(В·с) концентрация собственных носителей n_i=1,3·10¹⁹м^-3.

Требуется определить отношение концентраций основных и неосновных носителей тока, диффузионную длину дырок и плотность дырочного тока.

3.6.10. Образец дырочного антимонида индия имеет подвижность электронов 6,2м² /(В·с) при 290 К. Определить диффузионную длину неосновных носителей заряда, если их время жизни τ=3·10^-8с.

 

 

4. КОНТАКТНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В

ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУРАХ

В микроэлектронике исключительно большую роль играют различного рода контакты. Поэтому качество и надежность электронно-вычислительных средств во многом определяются физическими явлениями, протекающими в них.

Все электронные контакты можно классифицировать по различным признакам. Например, линейные и нелинейные, инжектирующие и неинжектирующие, омические и неомические и т.д.

Контакты каждой группы должны отвечать определенным требованиям [I].

Наиболее широкое практическое применение получили следуюшие контактные системы: полупроводник - полупроводник, металл - полупроводник (диэлектрик), металл – металл. Между этими конструктивными элементами возникает некоторое переходное сопротивление, зависящее от формы контакта, материалов структуры и технологии изготовления. Это сопротивление и определяет роль контакта.

 

4.1. КОНТАКТ ПОЛУПРОВОДНИК-ПОЛУПРОВОДНИК.

Различают контакты на границе раздела областей с различным типом проводимости в объеме одного полупроводника и контакты на границе раздела двух разнородных полупроводников. Контакты первого типа называют гомопереходами или электронно-дырочные p - n – переходы. Контакты второго типа - гетеропереходами.

Электронно-дырочным переходом называют поверхностный слой между двумя областями полупроводника, одна из которых имеет проводимость p– типа, а другая n– типа. Рассмотрим физические процессы в p - n – переходе с наиболее простым ступенчатым распределением легирующей примеси, как показано на рис 4.1.а.

 

Nq

x=0

a) б)

ξср

в)

Рис. 4.1. Распределение плотности объемного заряда (а) в ступенчатом несимметричном p - n – переходе (б) и зонная диаграмма, соответствующая равновесному состоянию (в).

 

Здесь и далее будем считать, что атомы акцепторной и донорной примеси полностью ионизированы, а полупроводник не вырожден.

Рассмотрим процесс установления термодинамического равновесия в ступенчатом p - n – переходе, структура которого показана на рис. 4.1.б. Диффузия электронов из области n в p область приведет к тому, что в n – области вблизи контакта образуется недостаток электронов и возникает положительный объемный заряд, обусловленный ионами донорной

примеси

Аналогичным образом, в результате диффузии дырок в р – области слева от контакта возникает отрицательный объемный заряд ионов акцепторов Na. Эти заряды порождают электрическое поле Е, направленное против оси Х, которое препятствует дальнейшему разделению зарядов. Таким образом, в р-n – переходе установится состояние термодинамического равновесия: диффузионные потоки электронов и дырок будут уравновешены их дрейфовыми компонентами; уровень (потенциал) Ферми будет постоянен по всему кристаллу, как показано на рис. 4.1в, произведение р*n=n_i² в любой точке кристалла.

Наличие электрического поля в приконтактной области обусловливает разность электростатических потенциалов между р- и n- областями р-n – перехода, которая носит название – контактная разность потенциалов (потенциальный барьер) Δφ₀. Равновесные концентрации основных носителей заряда вблизи от контакта не зависят от условий на контакте и однозначно определяют положение уровня Ферми в запрещенной зоне. Поэтому высоту потенциального барьера ступенчатого р-n – перехода можно выразить через эти концентрации

 

Δφ_{0 =} φ_т ln (p_{ро *} n_по /n_i²) = φ_т ln (N_a* N_д / n_i²) (4.1)

 

Где n_i - собственная концентрация носителей заряда;

φ_т = kT / q – температурный потенциал.

 

На зонной диаграмме (рис. 4.1в) искривление зон обусловлено наличием контактной разности потенциалов Δφ₀. Если величина Δφ₀ >> φ_т, то в соответствии со статистикой Больцмана для носителей заряда в невырожденном полупроводнике концентрация электронов в n – области пространственного заряда будет значительно меньше, чем их концентрация n_по = N_д вдали от контакта. Аналогична в р – области пространственного заряда концентрация дырок р_р << р_ро = N_a.

Поскольку в области пространственного заряда концентрация электронов и дырок мала, то, следовательно, слой пространственного заряда имеет высокое сопротивление и его называют истощенным или запорным слоем. Поэтому при приложении к р-n – переходу внешнего напряжения U оно практически полностью падает на запорном слое. Если при этом внешнее электрическое поле совпадает по направлению с внутренним, то разность потенциалов на запорном слое составит сумму Δφ₀ + U, а в противоположном случае разность Δφ₀ – U. Первому случаю соответствует такая полярность внешнего напряжения, при которой плюс источника напряжения подключен к n-области, а минус – к р-области р-n – перехода; при этой полярности источника ЭДС искривление зон увеличивается и высота потенциального барьера между р- и n- областями возрастает. Это включение р-n – перехода называют обратным включением, а внешнюю ЭДС – обратным смещением. Внешнюю ЭДС противоположной полярности называют прямым смещением, а включение р-n – перехода – прямым. При прямом смещении высота потенциального барьера между р- и n – областями уменьшается.

Распределение электростатического потенциала определяется уравнением Пуассона

 

(4.2)

 

где N(x) = - N_a при х < 0 и N(х) = N_д при x > 0

 

Для того, чтобы получить простое аналитическое выражение для зависимости φ(x) внутри запорного слоя и ширины запорного слоя, приходится испльзовать следующее приближение. В р-области вводится условная граница запорного слоя в точке (-lp) (рис. 4/1в), правее которой концентрация р,n << N_a, а левее – влияние контакта уже не сказывается и в соответствии с условием квазиэлектронейтральности концентрация дырок равна концентрации акцепторов р ≈ N_a. Электрическое поле в точке (-lp) настолько мало, что его можно считать равным нулю E (-lp) = 0. Аналогичным образом, в n-области в точке ln вводится условная граница между запорным слоем и квази-нейтральной областью, левее которой р,n << N_д, а правее – концентрация n ≈ N_д, причем поле E (ln) = 0.

Так как уровень отсчета потенциала можно выбрать произвольно, причем φ (-lp) = 0. Учитывая, что разность потенциалов на запорном слое составляет Δφ_0, получим второе граничное условие для потенциала φ(ln) = Δφ_0.

Решая уравнение Пуассона для р-области и n-области, получим:

 

φ₁(х) = Δφ₀ – (qN₀ / 2 εε₀)_* (x + lp)² (4.3)

 

φ₂(х) = (qN_д / 2 εε₀)_* (x + ln)² (4.4)

 

Выражения для напряженности поля по обе стороны границы раздела будут иметь вид:

 

E₁(x) = dφ₁/ dx = - (qN_a / εε₀ ) _* (x + lp) (4.5)

 

E₂(x) = dφ₂/ dx = (qN_д / εε₀ ) _* (x - ln) (4.6)

 

Из условия непрерывности поля на границе раздела E₁(0) = E₂(0) вытекает, что объемные заряды с любой стороны контакта равны между собой

Q = SqN_alp = SqN_д ln, (4.7)

Или

N_д / N_a = lp / ln. (4.8)

 

Из (4.8) следует, что симметричный переход имеет одинаковую протяженность в смежных слоях, а несимметричный переход лежит в основном высоком слое.

Из условия непрерывности потенциала φ₁(0) = φ₂(0) получаем выражение для ширины перехода в равновесном состоянии.

 

L₀ = lp–ln=[2 εε₀ Δφ₀ 1/q(1/N_a+1/N_д)]^½, (4.9)

 

Где, ε₀ - диэлектрическая проницаемость вакуума;

ε – относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника.

Поскольку переход является наиболее высокоомной частью структуры, то можно сказать, что подключение к переходу внешнего напряжения изменяет высоту потенциального барьера на величину приложенного напряжения, так как практически все напряжение падает на переходе

Δφ = Δφ₀ ±U; (4.10)

 

Знак "-" относится к прямому включению, а "+" к обратному.

Изменение высоты барьера приводит к изменению ширины перехода и концентрации носителей на границе перехода. Подставляя (4.10) в (4.9) получаем:

l = l₀ (1 ± U / Δφ₀)^1/2 (4.11)

 

Из соотношений (4.1) и (4.10) можно получить соотношение для изменения концентрации носителей заряда на границах перехода в n- и р- слоях.

 

Δр_n = p_n – p_n0 (exp (U / φ_T) – 1), (4.12)

 

Δn_p = n_p – n_p0 (exp (U / φ_T) – 1), (4.13)

 

Отсюда следует, что при прямом включении перехода избыточная концентрация неосновных носителей возрастает с ростом приложенного напряжения. Это явление получило название инжекции неосновных носителей. При обратном включении избыточная концентрация убывает, т.е. смежные слои объединяются неосновными носителями. Это явление получило название экстракции носителей неосновных.

Изменение ширины запорного слоя при приложении внешнего напряжения приводит к изменению объемного заряда в переходе. Внешней цепью это воспринимается как емкость р-n перехода. Для ступенчатого перехода с площадью S величина барьерной емкости определяется выражением:

(4.14)

 

 

В зависимости емкости перехода от приложенного напряжения позволяет применять его в качестве управляемой емкости в приборах – варикапах.

Для бесконечного узкого р-n перехода, в котором не учитываются процессы генерации и рекомбинации с низким уровнем инжекции

(Δр_n / n_no << 1), уравнение непрерывности для электронейтральных областей полупроводника будет иметь решение: Δn_p = Δn(0) exp (x / Ln) для слоя р и

Δр₀ = Δр(0) exp (x / L) для слоя n. Подставляя вместо Δn(0) и Δр(0) соответствующие выражения (4.12) и (4.13), получим:

 

Δn_p(х) = n_po[exp (± U / φ_T) – 1]exp (x / Ln), (4.17)

 

Δp_n(х) = p_no[exp (± U / φ_T) – 1]exp (- x / Lp), (4.18)

 

Беря максимальные значения токов (х = 0), умножая обе составляющие на площадь перехода S и складывая, получаем вольтамперную характеристику перехода:

(4.19)

 

 

При достаточно больших обратных напряжениях ток через переход не зависит от приложенного напряжения и принимает некоторое постоянное значение:

 

I₀ = qS (D_p / L_p) _* p_no + (D_n / L_n) _* n_po (4.20)

 

Этот ток называют током насыщения или тепловым током.