Поскольку Дебаевская длина экранирования равна 3 страница

 

 

3.2. Электропроводность металлов.

 

Проводимость электронных металлов может быть определена соотношением

s = q*n*U_n . (3.9)

 

Поскольку электронный газ в металлах является сильно вырожденным, то концентрация носителей в них практически не зависит от температуры. Поэтому зависимость s(T) в них полностью определяется температурной зависимостью подвижности электронов.

В области высоких температур:

 

s = A/T, r = a*T, (3.10)

в области низких температур:

 

s = B/T⁵, r = b*T⁵, (3.11)

 

где A, B, a, b - коэффициенты пропорциональности.

 

На рисунке 3.2 приведена зависимость удельного сопротивления чистых металлов r от температуры.

 

r

~Т

 

~Т⁵

const

0 Т

Рис.3.2 Зависимость удельного сопротивления металлов от температуры.

 

В области высох температур графиком r(Т) является прямая, в области низких температур – парабола 5-й степени, а вблизи абсолютного нуля, где основное значение имеет рассеяние на примесях – прямая, параллельная оси температур.

 

В металлических сплавах концентрация носителей заряда также не зависит от температуры и s(Т) для сплавов также определяется зависимостью подвижности носителей от температуры. Сплав можно рассматривать как материал, содержащий компоненты примеси. Наличие примесей приводит к нарушению периодичности поля решётки, к рассеянию носителей и дополнительному электрическому сопротивлению.

В простейшем случае бинарных сплавов удельное сопротивление может быть представлено

 

r_сил = b*[w*(1-w)], (3.12)

 

где b - коэффициент пропорциональности;

w и (1-w) – относительные доли металлов, образующих сплав.

 

При небольшом содержании примеси можно положить (1-w)»1, тогда

r_сил~w. Это удельное сопротивление не зависит от температуры и сохраняется при абсолютном нуле. Его называют остаточным сопротивлением r_n. При Т¹0К к остаточному сопротивлению присоединяется сопротивление r_т, обусловленное рассеянием на тепловых колебаниях решётки, и общее удельное сопротивление равно:

 

r = r_n+r_т . (3.13)

 

Это отношение выражает правило Матиссена об адитивности удельного сопротивления.

Важной характеристикой является температурный коэффициент сопротивления a. Он выражает относительное изменение сопротивления проводника r при нагревании на 1К.

Для чистых металлов

для сплавов

Так как r_n от температуры не зависит, то (3.15) можно преобразовать:

 

где a - температурный коэффициент сопротивления чистых металлов.

Из (3.16) следует, что a_сил меньше a чистого металла.

Для металлов справедлив закон Видемана-Франца, утверждающий, что

при постоянной температуре отношение теплопроводности к удельной проводимости есть величина постоянная.

где æ_эл – электронная составляющая теплопроводности;

L = 2.44 * 10^-8 (Вт*Ом*К^-2) называется числом Лоренца.

В полупроводниках с невырожденным электронным газом теплопроводность не является чисто электронной. Значительную долю в ней составляет решёточная теплопроводность.

 

3.3. Электропроводность полупроводников.

 

Как известно, плотность тока j есть заряд, проходящий в единицу времени через единичное поперечное сечение, т.е.

 

j = q*n*V_д, (3.18)

 

где q – заряд электрона; n – концентрация носителей в кристалле; V_д – скорость их перемещения в электрическом поле.

Подставляя сюда выражение (3.3) для V_д, и учитывая закон Ома j=s*Е,

получим

s = q*n*U_n. (3.19)

 

Если в кристалле кроме электронов содержатся и дырки, то выражение для удельной проводимости примет вид:

 

s = q*(U_n*n+U_p*p), (3.20)

 

где U_n – подвижность электронов;

U_p – подвижность дырок;

p – концентрация дырок.

 

Полупроводники высокой степени очистки обладают электрической проводимостью, обусловленной наличием в них собственных носителей тока – электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне. Эту проводимость называют собственной проводимостью полупроводника. Причём, в собственном полупроводнике n = p = n_i.Тогда полная проводимость собственного полупроводника

 

s_i = s_n+s_p = q*n_i*(U_n+U_p). (3.21)

 

Концентрация электронов и дырок в собственном полупроводнике определяется выражением (2.22), подвижность – (3.7) и (3.8). Подставляя эти значения в (3.21), получим

 

где через s_оi обозначено выражение, стоящее перед экспонентой и слабо зависящее от температуры. Выражение (3.22) удобно представлять на графике в логарифмическом масштабе:

 

 

Зависимость (3.23) представлена на рис.3.3. Она представляет собой прямую линию, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс пропорционален ширине запрещённой зоны e_g: tga = e_g/(2*k). Отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат определяет значение величины lns_oi.

lns_i

 

lns_oi

 

a

0 Т^-1

Рис.3.3. Зависимость электропроводности собственного полупроводника от температуры.

Температурная зависимость электропроводности невырожденных примесных полупроводников, как и в собственных, определяется температурной зависимостью концентрации носителей. Поэтому качественный характер зависимости s(Т) должен быть аналогичен зависимости n(Т) (рис.2.6).

lns

N'''_пр > N''_пр

d

 

N''_пр > N'_пр

 

b

a a

c b N'_пр

0 Т^-1

Рис.3.4. Зависимость проводимости примесного полупроводника от температуры.

 

На этой графической зависимости можно выделить три характерные области:

ab, bc, cd. Область ab соответствует низким температурам и простирается до температуры истощения примеси T_s. Концентрация носителей заряда в этой области описывается соотношением (2.26), а подвижность определяется, в основном, рассеянием на примесях и пропорциональна Т^3/2.

Тогда для электропроводности получим:

где s_on – коэффициент, слабо зависящий от температуры по сравнению с экс-понентой;

e_д – энергия ионизации донорной примеси (если полупроводник n-типа).

В логарифмическом масштабе получим:

Причём tgb=e_д/(2*k), т.е. пропорционален энергии ионизации примеси.

Таким образом, область ab соответствует примесной проводимости полупроводника, возникающей вследствие ионизации примесных атомов, приводящей к появлению примесных носителей тока.

Область bc простирается от температуры истощения примесей Т_s до температуры перехода к собственной проводимости Т_i. В этой области все примесные атомы ионизированы, но ещё не происходит заметного возбуждения собсвенных носителей, вследствие чего концентрация носителей тока сохраняется приблизительно постоянной и равной конценрации примеси n=N_д. Поэтому температурная зависимость проводимости полупроводника в этой области определяется зависимостью подвижности носителей. Область cd соответствует переходу к собственной проводимости полупроводника и была рассмотрена ранее.

Резкая зависимость сопротивления полупроводника от температуры ис-пользуется для устройства большого класса полупроводниковых приборов – термосопротивлений или термисторов. Они представляют собой объёмные полупроводниковые сопротиволения с большим температурным коэффициентом сопротивления и нелинейной вольтамперной характеристикой.

 

Пример 5. Проводимость собственного полупроводника.

Требуется показать, что электропроводность собственного полупроводника определяется выражением:

 

s_i = n_i*q*(U_n+U_p).

 

Градиент потенциала в образце кремния собственной проводимости составляет 400 В/м, а подвижности электронов и дырок равны 0.12 и 0.025 м²/(В*с) соответственно. Определить для этого образца:

 

а) скорости дрейфа электронов и дырок;

б) удельное сопротивление кремния, полагая, что концентрация собственных носителей равна 2.5*10¹⁶ м^-3;

в) полный дрейфовый ток, если площадь поперечного сечения образца

3*10^-6 м².

Покажите также, что проводимость материала n и p-типа определяется приближёнными выражениями:

 

s_n = q*N_д*N_n, s_p = q*N_a*U_p,

 

где N_д, N_a – концентрации доноров и акцепторов.

Решение: Закон Ома в дифференциальной форме

 

j = s*Е.

 

Ток в образце создаётся двумя носителями зарядов – дырками и элекро-нами, т.е. он состоит из двух компонентов дырочной и электронной:

 

j_p = n_i*q*U_p*E = n_i*q*V_др, j_n = n_i*q*U_n*E = n_i*q*V_дn,

 

где V_др, V_дn – скорости дрейфа дырок и электронов соответственно;

U_p, U_n – подвижности дырок и электронов.

Общая плотность тока запишется в виде:

 

j = j_n+j_p = n_i*q*E*(U_n+U_p).

 

С учётом закона Ома, получим:

Скорости дрейфа элекронов и дырок определяются из соотношений:

 

V_дn = U_n*E = 0.12*400 = 48 м/с,

V_др = U_p*E = 0.025*400 = 10 м/с.

 

Удельное сопротивление кремния равно:

 

Полный дрейфовый ток:

 

Y = n_i*q*(V_дn+V_др)*S = 2.5*10¹⁶*1.6*10^-19*(48+10)*3*10^-6 = 0.696 (мкА)

 

Для материала n-типа проводимость определяется выражением:

 

s_n = q*(p*U_p+n*U_n),

 

где n,p – концентрации электронов и дырок.

 

Плотность электронного тока в материале n-типа имеет вид:

 

j_n = n*q*U_n*E + p*q*U_p*E.

 

Однако, поскольку n*p=n_i², а n»N_д имеет N_д*p»n_i². Поэтому p»n_i²/N_д, и

следовательно

Поскольку в материале n-типа преобладают электроны, то получаем приближённое соотношение

s_n» q*N_д*U_n.

 

Аналогично, для материала p-типа можно получить:

 

s_p» q*N_а*U_p.

 

Пример 6. Вычисление проводимости примесного полупроводника.

Дан образец легированного кремния p-типа длиной 5 мм, шириной 2 мм

и толщиной 1 мм.

Вычислить концентрацию примеси в образце, если электрическое сопротивление образца 100 Ом, подвижность электронов и дырок равна 0.12 и 0.025м²/В*с), а концентрация собственных носителей равна 2.5*10¹⁶ м^-3. Определить также отношение электронной проводимости к дырочной.

 

Решение:

Используя основную формулу для удельного сопротивления, получаем:

 

Удельное сопротивление определяется также выражением:

Подставляем в это выражение числовые данные из условия задачи:

 

p*0.025+n*0.12 = 1.56*10²⁰.

 

Используя закон действующих масс p*n=n_i², находим n=6.25*10³²/p и подставляем в соотношение, полученное ранее:

 

0.025*p²+0.12*6.25*10³²-1.56*10²⁰*p=0.

 

Решение уравнения даёт результат p=6.24*10²¹ м^-3.

 

Отношение электронной проводимости к дырочной получим из соотношения:

Удельное сопротивление определяется также выражением:

 

Подставляем в это выражение числовые данные из условия задачи:

 

Используя закон действующих масс

,находим и подставляем соотношение,

полученное ранее

Решение уравнения дает результат

 

Отношение электронной проводимости к дырочной получим из соотношения

 

 

 

Пример 7. Температурная зависимость удельного сопротивления полупроводников.

Сравнить концентрации электронов в собственных германии и кремнии при температурах 50º и 100º С. Считать, что эффективные плотности состояний N_C, N_V не зависят от температуры. Ширину запрещенной зоны в германии и кремнии принять равной 0,7 и 1,1 эВ соответственно. Вычислить значения удельного сопротивления при указанных температурах. Удельное сопротивление чистых образцов при комнатной температуре (300 К) можно принять равным 0,5 и 1000 Ом · м, соответственно.

Решение.

Концентрация собственных носителей определяется соотношением:

 

Для германия отношение концентрации носителей при 50 С и комнатной температуре равно:

Аналогичные вычисления для германия при 100 С показывают, что это отношение равно 15,9.

Для кремния это отношение равно 4,67 и 77,4 соответственно для температур 50 С и 100 С.

Удельное сопротивление чистого германия определяется выражением:

 

Следовательно, считая, что UP и UN не зависят от температуры, получим

При температуре 50 С

 

Аналогично находим значение ρ при температуре 100 С:

Подобным образом получаем для кремния:

3.4. ЭФФЕКТ СИЛЬНОГО ПОЛЯ

Пропорциональность между плотностью тока и напряженностью поля, требуемая законом Ома, выполняется до тех пор, пока проводимость сохраняется величиной постоянной, не зависящей от напряженности поля. Поскольку проводимость полупроводников определяется зависимостью (3.20), то условие выполнимости закона Ома сводится к требованию независимости от поля концентрации носителей и их подвижности.

Эти требования выполняются пока дрейфовая скорость носителей зарядов остается много меньше тепловой. Такие поля называются слабым.

В слабых электрических полях происходит, в основном, упругое рассеяние носителей заряда на ионах примеси и на длинноволновых акустических фононах. При упругом рассеянии потери энергии носителей не происходит. По мере увеличения кинетической энергии носителей повышается вероятность неупругого рассеяния их на оптических фононах.

Кинетическая энергия носителей, приобретенная в электрическом поле, в результате испускания фононов передается кристаллической решетке. В стационарном состоянии прирост приобретенной носителями энергии уравновешивается ее уменьшением за счет передачи решетки, то есть в процессе рассеяния носители испускают столько же фононов, сколько поглощают. Распределение носителей по энергии при этом описывается максвелловской функцией с температурой, равной температуре решетки.

С повышением напряженности поля скорость дрейфа растет и для полей высокой напряженности может оказаться величиной одного порядка с тепловой скоростью. В этом случае начинают зависеть от напряженности подвижность и проводимость.

Кроме энергетических потерь при рассеянии происходят потери импульсов носителей и их подвижность уменьшается. Поэтому дрейфовая скорость носителей становится уже непропорциональной напряженности электрического поля и проявляет тенденцию к насыщению. При этом происходит превышение эмиссии фононов над их поглощением, энергия носителей оказывается больше, чем в равновесном случае, а их распределение характеризуется эффективной электронной температурой, которая больше температуры решетки. Естественно, это приводит к нарушению линейной зависимости тока от напряженности поля и нарушению закона Ома. Поля, для которых он имеет место, называют сильными.

Расчет показывает, что если основным механизмом рассеяния носителей является рассеяние на тепловых колебаниях решетки, то для сильных полей

При еще более высоких напряженностях поля E скорость дрейфа и подвижность носителей вообще перестают зависеть от E – наступает эффект дрейфового насыщения. Так как плотность тока

определяется дрейфовой скоростью, то вольт – амперная характеристика полупроводника приобретает ярко выраженный нелинейный характер.

Началу появления такой зависимости соответствует некоторая критическая напряженность электрического поля, при которой подвижные носители зарядов на длине свободного пробега приобретают скорость Vд=uE.

Следовательно, при этом выполняется условие

(3.26)

 

и критическая напряженность внешнего электрического поля

(3.27)

 

 

При комнатной температуре средняя тепловая скорость электронов в полупроводниках имеет значения порядка 10⁷ см /с. Отсюда следует, в частности, что для германия П – типа, в котором подвижность носителей около 3600 см² /(В·с), критическая напряженность электрического поля будет равна 3·10 ⁵ В/см. Об этом же свидетельствуют экспериментальные данные, согласно которым отступление от закона Ома в германии обнаруживается при

Увеличение результирующей скорости движения электронов под действием внешнего поля эквивалентно повышению температуры электронного газа в полупроводнике. Поэтому такой эффект называют разогревом электронного газа, а электроны, имеющие среднюю кинетическую энергию выше средней кинетической энергии решетки атомов, называют горячими электронами. Под действием сильных полей может происходить не только изменение подвижности, но и концентрации носителей заряда. Существуют три основные механизма этого эффекта: термоэлектронная ионизация, ударная ионизация (эффект Зинера).

При термоэлектронной ионизации электрическое поле E, созданное в полупроводнике, действует на электроны с силой

F= -qE и увеличивает вероятность перехода их в зону проводимости. Это приводит к увеличению концентрации свободных электронов и росту электропроводимости полупроводника δ.

При ударной ионизации электроны зоны проводимости приобретают энергию под действием внешнего поля, достаточную для ионизации нейтральных атомов и при этом сами остаются в зоне проводимости. Концентрация при этом будет возрастать, пока процесс не будет уравновешен рекомбинацией.

При электростатической ионизации электроны переходят из валентной зоны в зону проводимости, путем тунельного просачивания через запрещенную зону. Вероятность просачивания резко увеличивается с ростом напряженности внешнего электрического поля.