Поскольку Дебаевская длина экранирования равна 1 страница

Конспект лекций

по предмету

Физические основы

Микроэлектроники

 

 

Морозов М.П.

 

Niky

 

 

При участии студентов группы ВР-99

1. КЛАССИФИКАЦИЯ КРИСТАЛЛОВ ПО ТИПАМ СВЯЗИ И СТРУКТУРЕ

 

Кристаллическая структура и свойства твердых тел в значительной степени определяются характером сил связи между образующими частицами. В зависимости от типа сил связи кристаллы подразделяют: на ионные, атомные (ковалентные), металлические и молекулярные.

В ионных кристаллах силами взаимодействия являются кулоновские электростатические силы. Противоположно заряженные ионы притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению зарядов взаимодействующих ионов и обратно пропорциональных квадрату расстояния между ними. Кроме сил притяжения между ионами действуют силы отталкивания, возникающие вследствие взаимодействия электронных оболочек соседних атомов, а также одноименно заряженных ядер при достаточно малых межатомных расстояний.

Результирующая зависимость энергии взаимодействия противоположно заряженных ионов носит экстремальный характер. Минимальное значение энергии системы ионов определяет величину межатомного расстояния и энергии сублимации, которая характеризует силу связи. Типичным примером ионной связи является кристалл NaCl, для которого величина энергии взаимодействия равна 0,752 Дж/моль. Основным свойством ионной связи является ее ненаправленность.

Ковалентная связь, свойственная атомным кристаллам, характеризуется тем, что двум соседним атомам принадлежит пара обобщенных электронов. Этот вид связи имеет квантомеханическую природу и сущность ее заключается в возникновении отрицательной обменной энергии при антипараллельном расположении спинов обобщенных электронов. Грубо это можно пояснить как «втягивание» электронных облаков в пространство между ядрами, причем увеличение плотности отрицательного заряда межядерном пространстве приводит к уменьшению энергии в системе и возникновению сил притяжения между атомами. Примером ковалентной связи являются: кремний, германий, углерод в модификации алмаза. Для последнего энергия связи равна 6,8ּ10⁵ Дж/моль. Основные свойства ковалентной связи – направленность и насыщаемость.

Природа металлической связи заключается в том, что сравнительно слабо связанные с ядром валентные электроны способны покидать свои атомы и свободно перемещаться в пределах структуры, которую можно представить как ионный остов, погруженные в электронный газ.

Металлическая связь не имеет направленности и для нее характерны плотно упакованные решетки. Она занимает промежуточное положение между ковалентной и ионной, обладая некоторыми свойствами той и другой. Энергия металлической связи может составлять величину порядка 10⁶ Дж/моль. Она проявляет такие свойства металлов как электропроводность, теплопроводность, пластичность.

Следующий вид связи – молекулярная (Ван-дер-Ваальсовская). Сущность ее обусловлена наличием внутренних диполей, образующих в результате дисперсионных эффектов, либо представляющих собой постоянные диполи в асимметричных молекулах. При этом между молекулами возникает электростатическое взаимодействие, стремящееся расположить в строгом порядке. В результате энергия системы уменьшается и возникает устойчивое состояние. Энергия молекулярной связи невелика и составляет величину 10^-3 Дж/моль, что определяет невысокую прочность и низкую температуру плавления твердых тел с такой связью, например, у парафина.

Кристаллы являются твердыми телами, обладающими дальним порядком, т.е. высокой степенью упорядоченности образующих частиц. Поэтому можно выбрать некоторый объем, транслируя (перенося в пространстве), который, можно воспроизвести структуру кристалла. Наименьший такой объем называется элементарной ячейкой. Она характеризуется длиной ребер и углами между ними. Длина ребра элементарной ячейки называется постоянной решетки.

В зависимости от места расположения частиц в элементарной ячейке могут быть 4 типа кристаллических решеток: примитивная, гранецентрированная, базоцентрированная, объемоцентрированная. Примитивная решетка содержит образующие частицы только в вершинах элементарных ячеек. Гранецентрированная имеет дополнительно по одной частице в центре каждой из ее граней. Базоцентрированная решетка имеет только две дополнительные частицы в центрах оснований. Объемоцентрированная решетка содержит одну дополнительную частицу в точке пересечения пространственных диагоналей.

Всего существуют 14 типов простых кристаллических решеток, которые называют решетками Браве. В зависимости от степени симметрии они подразделяются на семь систем сингоний: триклинная, моноклинная, ромбическая, тетрагональная, тригональная и кубическая. Кроме простых решеток Браве существуют сложные решетки с базисом. Их можно представить себе как систему из двух простых решеток, вставленных одна в другую, и сдвинутых на некоторый вектор, который называют базисом. Подобные решетки имеют Ge, Si и алмаз.

 

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ И СТАТИСТИКА НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКЕ

 

Любое твердое тело представляет собой совокупность большого числа атомных ядер и электронов, являющихся микрочастицами. Микрочастицы – электроны, протоны, атомы и т.д. – органически сочетают в себе корпускулярные и волновые свойства. Они регистрируются всегда как частицы, а их движение описывается волновым уравнением Шредингера. Для микрочастиц массы m, движущейся в силовом поле и обладающей в нем потенциальной энергией U(x, y, z, t), уравнение Шредингера имеет вид [I,2]

(2.1.)

 

Функцию , являющуюся решением этого уравнения, называют волновой функцией. Она имеет следующий физический смысл: произведение на , комплексно сопряженную с , и на объем dV есть вероятность обнаружить частицу в момент t в выделенном элементе объема dV.

Потенциальная энергия U, входящая в уравнение Шредингера, является в общем случае функцией координат и времени. Однако, для некоторых практических случаев она является функцией только координат и не зависит от времени. В этом случае существует набор независимых решений уравнения Шредингера, для которых не зависит от времени. Такие состояния микрочастицы называются стационарными. Нахождение стационарных энергетических состояний является важной задачей, так как любое другое состояние, в том числе нестационарное, может быть представлено как суперпозиция стационарных состояний. Решение уравнения Шредингера для электрона в кулоновском поле протона (атом водорода) дает бесконечное множество возможных стационарных энергетических состояний. Их энергия, отсчитанная от энергии свободного, не связанного с ядром, электрона, определяется формулой

 

(2.2.)

 

где Е₀ – диэлектрическая проницаемость вакуума;

h – постоянная Планка;

q, m – заряд и масса электрона;

n – главное квантовое число.

 

Таким образом, электрон, связанный с атомом может принимать лишь строго определенные значения энергии. В этом случае говорят, что энергетический спектр квантован.

Для свободного электрона уравнение Шредингера принимает вид:

 

(2.3.)

 

 

Решением его является плоская волна (2.4.)

 

где - радиус-вектор;

- волновой вектор;

А₀ - амплитуда волны.

 

Энергия свободного электрона оказывается непрерывной функцией волнового числа К, т.е. энергетический спектр свободного электрона является сплошным:

 

E=(h²K²)/2m(2.5.)

 

Для электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, картина становится более сложной.

 

 

2.1. ОБОБЩЕСТВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В КРИСТАЛЛЕ

 

В кристалле расстояние между атомами настолько малы, что валентные электроны каждого атома оказываются в достаточно сильном поле соседних атомов. Если в первом приближении считать, что ядра атомов неподвижно закреплены в узлах кристаллической решетки, а энергию попарного взаимодействия каждого электрона с усредненным полем всех остальных, то уравнение Шредингера, для отыскания стационарных состояний, находящегося в кристалле, принимает вид:

 

(2.6.)

 

где U – потенциальная энергия электрона;

 

- оператор Лапласа.

 

Решение уравнения (2.6.) может быть получено в виде

 

(2.7.)

 

где , , - проекция волнового вектора на оси координат;

a, b, c - постоянные решетки в соответствующих направлениях;

С -усредненная потенциальная энергия электрона в самосогласованном поле [3];

А -обменный интеграл, учитывающий энергию обменного взаимодействия;

E_am – энергия некоторого уровня в изолированном атоме.

Обменная энергия обусловлена тем, что каждый электрон может быть с некоторой вероятностью обнаружен у любого атома. Из (2.7.) следует, что в результате взаимодействия атомов, уровень E_amэнергии электрона в изолированном атоме опускается на величину С и расщепляется в зону в интервале от

E_min = E_am +C-6|A| до E_min = E_am +C+6|A|, (2.8.)

 

Эти разрешенные зоны энергии разделены запрещенными энергетическими интервалами – запрещенными зонами.

Энергетические зоны, образовавшиеся в результате расщепления уровней валентных электронов, называют валентными. Следующая за валентной разрешенная зона называется зоной проводимости.

 

На рис. 2.1. показано образование зон при сближении атомов.

 

 

Число энергетических уровней в хоне является конечным и достаточно большим (число атомов в кристалле). Следовательно, согласно принципу Паули [3] в зоне может разместиться конечное число электронов.

 

2.2. ЗАПОЛНЕНИЕ ЗОН ЭЛЕКТРОНАМИ И ДЕЛЕНИЕ ТЕЛ НА МЕТАЛЛЫ, ДИЭЛЕКТРИКИ И ПОЛУПРОВОДНИКИ

 

При ограниченном числе электронов, содержащихся в твердом теле, заполненными окажутся лишь несколько наиболее низких энергетических зон.

По характеру заполнения зон электронами все тела можно разделить на две группы.

К первой группе относят тела, у которых над целиком заполненными зонами расположена зона, заполненная лишь частично. Такая зона возникает в том случае, когда атомный уровень, из которого она образуется, заполнен в атоме не полностью. Частично заполненная зона может образоваться также и вследствие наложения заполненных зон на пустые или частично заполненные. Наличие зоны, заполненной лишь частично, присуще металлам (рис. 2.2а) и тела с такой зонной диаграммой являются проводниками.

 

 

Т=О К; а – металл; б – полупроводника; в – диэлектрика.

 

Ко второй группе относятся тела, у которых над целиком заполненными зонами расположены пустые зоны при температуре абсолютного нуля (рис. 2.2 б, в). Такие зонные диаграммы характерны для полупроводников и диэлектриков, которые между собой различаются шириной запрещенной зоны. К диэлектрикам относят тела, имеющие относительно широкую запрещенную зону, Е_д>3 эВ. Полупроводники имеют сравнительно узкую запрещенную зону. У типичных полупроводников Е_д≤2 эВ. Так, у германия Е_д=0,66 эВ; у кремния Е_д=1,08 эВ; у антимонида индия Е_д=0,17 эВ; у арсенида галия Е_д=1,43 эВ.

Верхнюю целиком заполненную электронами зону называют валентной. Следующая за ней запрещенная зона носит название зоны проводимости. Потолок валентной зоны принято обозначать Е_V, дно зоны проводимости – Е_с.

 

2.3. СОБСТВЕННЫЕ И ПРИМЕСНЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ

 

Химически чистые полупроводники называются собственными. К ним относят ряд чистых химических элементов (германий, кремний, селен, теллур и др.) и многие химические соединения, такие, например как арсенид галлия GaAs, арсенид индия InAs, антимонид индия InSb, карбид кремния SiC и т.д. Зонная диаграмма собственного полупроводника в упрощенном виде представлена на рис. 2.2б. При Т=0 К собственный полупроводник, как и диэлектрик, обладает нулевой проводимостью. Однако, с повышением температуры вследствие термического возбуждения электронов валентной зоны, часть из них приобретает энергию, достаточную для преодоления запрещенной зоны и перехода в зону проводимости.

Если к такому кристаллу приложено внешнее поле, в нем возникает направленное движение электронов зоны проводимости и валентной зоны. Кристалл становится проводящим. Чем уже запрещенная зона и выше температура кристалла, тем более высокую электропроводимость приобретает кристалл. Так, у германия, имеющего Е_д=0,66 эВ, уже при комнатной температуре концентрация электронов в зоне проводимости достигает значения n_i ≈ 10¹⁹ м^-3 и удельное сопротивление составляет всего лишь ρ ≈ 0,48 Ом·м. В тоже время у фосфида галлия, имеющего Е_д=2,24 эВ, при комнатной температуре оказывается n_i ≈ 10^-6 м^-3 и ρ ≈ 2·10¹³ Ом·м.

Таким образом, проводимость полупроводников является возбужденной. Она появляется под воздействием внешнего фактора, способного сообщить электронам валентной зоны энергию, достаточную переброса их в зону проводимости. Такими факторами могут быть нагревание полупроводников, облучение их светом и ионизирующим излучением.

Разделение тел на полупроводники и диэлектрики носит в значительной мере условный характер. Так, например, фосфид галлия, являющийся диэлектриком, при комнатной температуре, приобретает заметную проводимость при более высоких температурах и может считаться также полупроводником. Суммарный ток всех электронов валентной зоны, имеющей одно вакантное состояние, эквивалентен току, обусловленному движением одной частицы с положительным зарядом q, равным заряду электрона, и помещенной в это состояние. Такую фиктивную частицу называют дыркой. Полупроводники любой степени очистки содержат примесные атомы, создающие свои собственные энергетические уровни, получившие название примесных. Хотя в физике твердого тела под примесью понимают не только примесные атомы, но любой дефект, приводящий к нарушению идеальной структуры полупроводника.

Возникающие примесные уровни могут появиться как в разрешенной так и в запрещенной зонах, полупроводника. Появление их в разрешенных зонах не оказывает существенного влияния на электрические свойства проводника. Наличие же примесных уровней в запрещенной зоне существенно меняет электрические свойства последнего. Уровни, расположенные в запрещенной зоне вблизи ее дна и поставляющие электроны в зону проводимости, называют донорами, а сам полупроводник – электронным, или полупроводником n-типа. Примесные уровни, расположенные вблизи потолка валентной зоны и принимающие электроны из валентной зоны, называют акцепторами, а полупроводник – дырочным, или p-типа. Энергетические диаграммы полупроводников n и p – типа показаны на рис. 2.3.

 

	Рис. 2.3. Зонная диаграмма полупроводников: n-типа (а) и p-типа (б)

 

Здесь ΔЕ_Д и ΔЕ_а – соответственно энергии активации (ионизации) донорной и акцепторной примеси. Необходимо отметить, что переходы электронов из зоны в зону (или на локальные примесные уровни и с них) являются обратными процесами. При повышении энергии электрон переходит либо в зону проводимости, либо на примесный уровень – происходит увеличение концентрации носителей зарядов, их генерация. Если энергия электронов уменьшается, происходит обратный процесс, который получил название рекомбинация.

Легирование полупроводника донорной примесью, проводимая специально для превращения его в материал n-типа, или акцепторной примесью с целью превращения в материал p-типа – важнейшая технологическая операция при изготовлении полупроводниковых приборов. Особенно полезной характеристикой процесса легирования является то, что легированный кристалл можно компенсировать последующим добавлением легирующей примеси, противоположного типа. В диапазоне температур, при которых используются полупроводниковые приборы, каждый донорный атом теряет электрон, а каждый акцепторный атом приобретает электрон. Так как акцепторные атомы обеспечивают состояние при более низких энергиях, чем те, которые соответствуют зоне проводимости или донорным уровням, электроны с донорных уровней перейдут на акцепторные уровни, обладающие меньшей энергией, лишь только какие-либо из них окажутся незанятыми. Таким образом, в легированном полупроводнике эффективная концентрация легирующей примеси равна абсолютной величине между концентрациями доноров и акцепторов

 

N_пр=|N_Д-N _а | (2.9.)

 

Полупроводник имеет проводимость n-типа, если N_Д > N _а и p-типа, если N_Д < N _а. Хотя теоретически можно достигнуть нулевой эффективной концентрации легирующей примеси с помощью компенсации, такое управление концентрацией легирующих примесей технически неосуществимо. Обычно компенсирующее легирование связано с добавлением легирующей примеси, концентрация которой примерно на порядок выше, чем концентрация исходной примеси [4].

 

ПРИМЕР I. ДОНОРЫ И АКЦЕПТОРЫ

 

Известно, что кристалл кремния в качестве легирующей примеси содержит 10^-4 атомных процента As. Затем он равномерно легируется 3·10¹⁶. атом/см³ фосфора P и после этого равномерно легируется 10¹⁸ атом/см³ боа В. вслед за этим термический отжиг полностью активизирует все примеси. Определить тип проводимости образца кремния и концентрация основных носителей.

Решение: Мышьяк – элемент V группы, поэтому он действует как донор. Так как кремний содержит 5·10²² атом/см³, концентрация примесей равна 10^-4 атомных процента, означает, что кремний легирован 5·10²²·10^-6=5·10¹⁶ атом/см³. Дополнительно легирование 3·10¹⁶ атом/см³ увеличивает содержание доноров в кристалле до 8·10¹⁶ атом/см³.

Легирование атомами бора (III группа) превращает кремний из n-типа в p-тип, так как концентрация акцепторов теперь будет превосходить концентрацию доноров. Результирующая концентрация акцепторов будет, однако, меньше, чем концентрация атомов бора вследствие компенсации донорами. Следовательно, кремний будет иметь проводимость p-типа, а концентрация дырок будет равна результирующей концентрации легирующих примесей:

 

P=Na(B)-[N_Д(As)+ N_Д(P)]=10¹⁸-(5·10¹⁶+3·10¹⁶)=9,2·10¹⁷ см^-3.

 

 

2.4. СТАТИСТИКА НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА, УРОВНЕЙ ФЕРМИ

 

Твердые тела представляют собой системы, состоящие из большого числа микрочастиц. Такие системы подчиняются статистическим закономерностям, основной особенностью которых является их вероятностный характер. Они подразделяются на два класса – вырожденные и не вырожденные. Критерием врожденности является отношение числа частиц в системе к числу энергетических состояний N/G. Если N/G << 1, то система является невырожденной. Если же N/G≥1, то – вырожденной. Невырожденные системы подчиняются классической статистике Максвелла-Больцмана [5]. Вырожденные системы подчиняются квантовой статистике. Вероятность распределения частиц по состояниям определяют статистические функции распределения. Они показывают с какой вероятностью f(E, T) частица будет обладать средней энергией Е при температуре Т.

Невырожденные системы описываются функцией распределения Максвелла-Больцмана:

 

F(E, T)= exp[(E_F – E)/kT], (2.10.)

 

где k – постоянная Больцмана;

E_F – энергия Ферми.

 

Функции распределения для вырожденных систем зависят от типа частиц. Для фермионов (частиц с полуцелым спином) функция распределения Ферми-Дирака имеет вид:

 

f_ф(E, T)= (1+exp((E-E_F)/kT))^-1. (2.11.)

 

Для бозонов (частиц с целочисленным спином) функция распределения Бозе-Эйнштейна:

 

f_Б(E, T)= (exp((E-E_F)/kT)-1)^-1. (2.12.)

 

При условии

 

exp((E-E_F)/kT)>>1 (2.11.)

 

(2.11.) и (2.12.) переходят в распределение Максвелла-Больцмана (2.10.). Поэтому условие (2.13) называют условием невырожденности. По своему смыслу энергия (уровень) Ферми соответствует термодинамической точке зрения химическому потенциалу системы. Уровень Ферми – это последний занятый уровень при температуре абсолютного нуля, а при любой другой температуре вероятность нахождения на нем электрона равна 0,5.

 

 

ПРИМЕР 2. ПОЛОЖЕНИЕ УРОВНЯ ФЕРМИ.

Определить на какой высоте (в электронвольтах) от дна зоны проводимости находится уровень Ферми в одновалентном натрии, который содержит 2,53·10²⁸ атомов/м³. Предположим, что плотность энергетических состояний в зоне проводимости определяется соотношением

,

где m_e – эффективная масса электрона.

 

Решение:

 

Умножив N(x) на функцию распределения Ферми – Дирака, наедем действительное число электронов

 

 

Число электронов в состояниях вплоть до уровня Ферми, можно представить интегралом

 

.

 

Интегрирование дает

 

,

 

откуда получим после преобразования

 

.

 

Для указанного в задаче числа электронов имеем

 

.

 

После подстановки констант окончательно получим

 

эВ.

 

2.4.1. КОНЦЕНТРАЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК В ПОЛУПРОВОДНИКЕ.

Пусть при некоторой установившейся температуре полупроводник находится в состоянии термодинамического равновесия, которое характеризуется равенством скоростей генерации и рекомбинации. В единичном объеме полупроводника находится определенное количество свободных носителей заряда, которое называется концентрацией.

Концентрацию электронов в зоне проводимости можно получить, проинтегрировав полную функцию по всем энергиям зоны проводимости:

 

, (2.14)

 

где g(x) – функция плотности состояний электронов в зоне проводимости [5].

В результате интегрирования получим:

 

. (2.15)

Интервал в выражении (2.15) получил название интеграла Ферми порядка ½. Аналогичное выражение можно получить для концентрации дырок в валентной зоне:

 

. (2.16)

 

Величины m_p и m_n в выражениях (2.15) и (2.16) – это, так называемые эффективные массы электрона и дырки, соответственно. Они определяются соотношением:

. (2.17)

 

Если полупроводник является невырожденным, то, с учетом того, что единицей в знаменателе подинтегральной функции в (2.15) и (2.16) можно пренебречь, получим приближенное выражения для концентраций носителей:

; ; (2.18)

; . (2.19)

 

N_c, N_u - эффективные плотности состояний в зоне проводимости и в валентной зоне.

 

 

2.4.2. ПОЛОЖЕНИЕ УРОВНЯ ФЕРМИ И КОНЦЕНТРАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В СОБСТВЕННОМ ПОЛУПРОВОДНИКЕ.

В собственном полупроводнике положение уровня Ферми находится из условия равенства электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне

, (2.20)

 

индекс i в (2.20) обозначает принадлежности к собственному проводнику. Приравнивая правые части для n и p в (2.18) и решая относительно ξF, получим:

 

, (2.21)

 

где ξg – ширина запрещенной зоны собственного полупроводника. Подставив полученной выражение для ξ_Fi (2.21) и (2.18) получим выражение для концентрации носителей заряда в собственном полупроводнике:

 

. (2.22)