Показатели эффективности инвестиций

Методы, которыми осуществляют оценку эффективности инвестиционного процесса, основаны на приведении финансовых потоков инвестиций к одному моменту времени, следовательно, важным моментом является выбор ставки сравнения, по которой производится дисконтирование. Какую ставку принять в данной ситуации - дело макроэкономического анализа и прогноза. В общем случае для решения таких задач применим и стохастический анализ и экономико-математическое моделирование. Для выбора вариантов инвестиционного проекта (ИП) применяемые методики чаще всего основаны на использовании четырех показателей:

1) Чистая современная стоимость (NPV);

2) Период (срок) окупаемости;

3) Внутренняя норма доходности;

4) Индекс рентабельности (рентабельность).

Каким образом вычисляется первый показатель, мы уже рассмотрели в предыдущем пункте. Отрицательное значение NPV говорит о нецелесообразности для инвестора данного варианта ИП. Среди вариантов с NPV >0 выбирают тот, у которого NPV больше. Однако этот лучший с точки зрения NPV проект надо еще сравнить с вариантом вложения средств на банковский депозит, учитывая, что риск в этом случае меньше.

Рассмотрим пример, для которого последовательно вычислим все показатели эффективности ИП.

Пример (основной). Даны два варианта ИП А и Б, которые характеризуются следующими потоками платежей (все показатели отнесены на конец года) (см. рис. 8):

С_А = (-100; -150; 50; 150; 200; 200),

С_Б = (-200; -50; 50; 100; 100; 200).

 

Рис. 8

 

Первый показатель у каждого потока отнесен к первому году, следующий ко второму и т.д. При ставке сравнения i = 10% получим:

 

NPV _А = 162,2; NPV _Б = 57,7.

 

Следующий показатель - срок окупаемости (n _ок). Это срок, за который можно возвратить инвестированные в проект деньги. Рассмотрим определение срока окупаемости без учета фактора времени. В этом случае n _ок находимпоследовательным суммированием доходов и подсчетом времени до тех пор, пока сумма дохода не окажется равной сумме инвестиций.

Пример. Сравним по сроку окупаемости n _ок два варианта ИП из основного примера. Для варианта А суммируем годовые доходы:

50 + 150 + 200 x = 250, x = 0,25 года.

Отсюда, для варианта А имеем n _ок = 2 + 0,25 = 2,25 года.

Аналогично для варианта Б находим: 50 + 100 + 100 = 250, следовательно, n _ок = 3 года.

С финансовых позиций более обоснованными являются методы расчета срока окупаемости, учитывающие фактор времени. Рассмотрим простейший из них. Более сложные методы см. в [1]. Представим данный метод в виде алгоритма.

1. Находим величину инвестиций К, приведенную к моменту их завершения;

2. Вычисляем сумму последовательных членов чистых доходов Р _m приведенных на момент завершения инвестиций до тех пор, пока,

 

 

Тогда m - целое число лет, составляющих срок окупаемости n_t. Доля года рассчитывается по формуле (К - Р_m)/ R_{m +1} V^{m +1}.

3. Окончательно имеем

 

n_t = m + (К- Р_m)/ R_{m +1} V^{m +1}.

 

Оценим n_t для предыдущего примера. Здесь t = 2 - момент завершения инвестиций, ставка сравнения i = 10 %.

Вариант А: сумма инвестиций, приведенная на момент их завершения

К _А = 100(1+0,1) +150 = 260.

Далее, Р₂ = 169,4; Р ₃ = 319,7 т.е. Р ₂ < К_А < Р _3.

Следовательно, m = 2 годам, тогда

Аналогично для варианта В: К _В = 200(1+0,1) +50 = 270,

Р ₃ = 203,2; Р ₄ = 339,8 т.е. Р ₃ < К _В < Р ₄, тогда m = 3 годам и окончательно:

Основной недостаток срока окупаемости в том, что он не учитывает доходы после момента полного возмещения вложенных средств. Особенно нагляден этот недостаток в случае, когда отдачи от вложений капитала неравные. Поэтому срок окупаемости не должен служить критерием выбора инвестиционного проекта, а использоваться в виде ограничения при принятии решения о данном инвестиционном проекте.

Внутренняя норма доходности. Найдем такую ставку процента i _B, при которой становятся равными дисконтированная стоимость потоков расходов и дисконтированная стоимость потока доходов. Проведем финансовый анализ для инвестора, т.е. будем считать его расходы отрицательными, поступления положительными. Если обозначить члены финансового потока через R_S (R_S < 0 - расходы, R_S > 0 - доходы), то i _B определится из уравнения

 

(30)

 

Если уравнение NPV (i)=0 имеет единственный положительный корень i _B, то его называют ставкой доходности или внутренней нормой доходности (internal rate of return = irr) инвестиционного проекта. Эта норма доходности представляет собой максимальную ставку процента, под которую инвестор мог бы взять кредит для финансирования ИП, а доходы, поступающие от реализации проекта, использовались бы для погашения суммы кредитов и процентов.

Пусть кредит получен по ставке, тогда при i = i _B положение инвестора не изменится при принятии такого проекта (бесприбыльный проект).

Если i < i _B, то такой ИП нужно отвергнуть. При i > i _B проект можно принять, выбрав из всех вариантов проект с наибольшим значением i _B.

Таким образом, экономическая задача свелась к решению математической задачи отыскания корней уравнения NPV (i)=0.

Здесь уместно сделать следующее замечание относительно существования и единственности положительного корня уравнения (1). В [2] сформулирована теорема, утверждающая, что если последовательность (R (1), R (2),…, R (n)), где R (k)= R ₁+ R ₂+…+ R_k - сумма накопленных платежей до момента t _k, причем, R ₀ ¹0 и R (n) ¹ 0, имеет ровно одну перемену знака, то уравнение (30) имеет единственный положительный корень.

На практике вначале проверяют выполнения условия теоремы, и если оно выполнено, то с помощью компьютера находят корень уравнения (30).

Однако этот корень можно вычислить с помощью линейной интерполяции. Именно, если f(a) и f(b) имеют разные знаки, например, f(a) > 0, f(b) < 0, то приближенное значение корня можно вычислить по формуле

 

Пример. Пусть некоторому ИП соответствует следующий поток платежей:

R_k = (-5, 1, -3, 8, 4) при t_k = (0, 1, 2, 3, 4).

Найдем i _B.

Решение. Проверим условие теоремы. R_k = (-5, -4, -7, 1, 5), т.е. последовательность { R_k }имеет ровно одну перемену знака. Следовательно, уравнение

f (i) = -5 + (1+ i)^-1 –3(1+ i)^-2 + 8 (1+ i)^-3 + 4(1+ i)^-4 = 0

имеет единственный положительный корень i _B. Составляя таблицу значений f(i) от 0,20 до 0,25 с шагом 0,01, заметим, что f (0,22) > 0, f (0,23) < 0 т.е. i _BÎ(0,22; 0,23). Используя формулу линейной интерполяции с шагом 0,01, получим:

 

 

Следовательно, внутренняя норма доходности данного ИП i _B = 22.11 %.

Последний из рассматриваемых показателей эффективности – индекс рентабельности (рентабельность) r ИП представляет собой отношение суммы всех дисконтированных денежных доходов от инвестиций к сумме всех дисконтированных инвестиционных расходов:

 

где P_k - показатели чистого дохода в момент времени t_k, R_k - размеры инвестиционных затрат, S = 1,2,3,… n ₁; j = 1,2,… n ₂, где n ₁ – продолжительность процесса инвестиций, n ₂ – продолжительность периода отдачи от инвестиций. Если r < 1, то проект должен быть отклонен. Среди проектов, у которых r > 1, следует отдать предпочтение проекту с наибольшим индексом рентабельности. Заметим, что не всегда проект с наибольшим r будет иметь и самую большую NPV.

Пример. Вычислим рентабельность для ИП из основного примера (ставка процента i = 10 %). Имеем:

 

В заключение сделаем некоторые замечания о методике выбора ИП на основе рассмотренных четырех показателей эффективности. Если для фирмы важен, например, период окупаемости, тогда сначала на его основе отвергают неприемлемые варианты. Если же этот показатель для фирмы не очень важен, то его не применяют вообще. Как было показано выше, все показатели эффективности строятся на основе дисконтирования инвестиционного потока, поэтому результаты сравнения зависят от выбора важнейшего параметра анализа – принятой ставки сравнения. Действительно, если в последнем примере ставка сравнения равна 20 %, то r _A= 1,105, r _B = 0,763. Это объясняет тот факт, почему многие фирмы применяют не один, а два и более показателей эффективности. Наибольшей популярностью у инвесторов пользуется внутренняя норма доходности, которая считается основным критерием, а остальные – дополнительными. В странах с развитой рыночной экономикой большинство крупных фирм в качестве пары «основной - дополнительный критерий» используют чаще всего пару «i _B- NPV» и «NPV - i _B». Если при выборе ИП с помощью выбранной пары возникают заметные расхождения, то привлекают третий показатель, или проводят более глубокий финансовый анализ (см. [ 6 ]).

Для окончательного решения привлекаются и дополнительные критерии, связанные, например, с экологией и безопасностью персонала.

 

 

Задачи

8.1. Инвестор вкладывает 10 денежных единиц (д.е.) в момент t = 0, затем 4 д.е. через 2 года и получает 20 д.е. через 5 лет. Найдите NPV, i _B для этого проекта, если i = 10%.

8.2. ИП характеризуется следующим потоком платежей: R = (-80, 10, 10, 20, 40, 30, 50), t = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6). Определите PV доходов, срок окупаемости n _ок (без учета фактора времени), если i = 10%.

8.3. Для финансового потока R = (-90, 10, 20, 30, 30, 40, 50), t = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) определите NPV, (i = 10%).

8.4. Фирме предоставляется возможность инвестировать 1000$ за доход в 500, 1000 и 200$ в конце первого, второго и третьего года соответственно в рамках проекта, срок которого три года. Фирма может кредитовать и заимствовать под 5 % годовых. Выгоден ли такой проект фирме с точки зрения NPV, если i = 10%? Ответ: NPV = 556$.

8.5. Вычислите индекс рентабельности двух ИП А и Б, каждый из которых требует единовременных затрат в размере 500 д.е. и 800 д.е. соответственно. Доходы ожидаются в конце года для проекта А в размере 715 д.е., для проекта Б – 1100 д.е. Ставка дисконта 10%. Ответ: R _A = 1,3; R _B = 1,25.

 

 

8.6. Найдите NPV _A и NPV _B для инвестиционных проектов из предыдущей задачи.

8.7. Для основного примера вычислить i _B., если i = 10%

Ответ: A: f(0,31) > 0, f(0,33) < 0, i _B = 31,2 %;

Б: f(0,16) > 0, f(0,18) < 0, i _B = 17,1 %.

Контрольное задание

Решить задачи: по теме № 1:	1.3; 1.5
по теме № 2:	2.1; 2.4
по теме № 3:	3.2; 3.4; 3.6;
по теме № 4:	4.3;
по теме № 5:	5.1; 5.3; 5.5; 5.8, 5.9
по теме № 6:	6.1; 6.4;
по теме № 7: по теме № 8:	7.3; 7.6. 8.3; 8.6; 8.7

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело ЛТД, 1995. 320с.

2. Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. 247с.

3. Мелкумов Я.С., Румянцев В.Н. Финансовые вычисления в коммерческих сделках. М.: Интел - Синтез, 1994.

4. Бухвалов А.В., Идельсон А.В. Самоучитель по финансовым расчетам. М.: Мир, Пресс-сервис, 1997. 176с.

5. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. М.: "Издательство ПРИОР", 1998. 144с.

6. Бромвич М. Анализ экономической эффективности капиталовложений. М.: ИНФРА-М, 1996. 432с.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Предисловие ………………………………………………………………..
Темы для подготовки к экзамену…………………………………. ……...
1 Простые проценты ……………………………………………………….
Задачи …………………………………………………………………….
2 Дисконтирование ………………………………………………………...
Задачи …………………………………………………………………….
3 Сложные проценты ………………………………………………………
3.1 Номинальная процентная ставка …………………………………...
3.2 Эффективная процентная ставка …………………………………...
3.3 Непрерывное начисление процентов ……………………………...
Задачи …………………………………………………………………….
4 Учет инфляции ………………………………………………………….
Задачи …………………………………………………………………….
5 Финансовые ренты ………………………………………………………
5.1Обычная годовая рента ……………………………………………...
5.2 Приведенная рента …………………………………………………..
5.3 Отложенная рента …………………………………………………...
5.4 Годовая рента при начисление процентов m раз в году ……...
5.5 P - срочная рента ………………………………………………….
5.6 Вечная рента …………………………………………………………
5.7 Объединение и замена рент …………………………………………
Задачи …………………………………………………………………….
6 Погашение кредита (долга) …………………………………………….
6.1 Погашение долга равными срочными уплатами …………………..
6.2 Планирование страхового (погасительного) фонда ………………
6.3 Погашение ипотечной ссуды ………………………………………
Задачи …………………………………………………………………..
7 Консолидация платежей ……………………………………………….
Задачи ………………………………………………………………….
8 Анализ эффективности инвестиционных процессов ………………….
8.1 Модель дискретного потока платежей ……………………………..
8.2 Модель непрерывного потока платежей …………………………..
8.3 Показатели эффективности инвестиций …………………………..
Задачи …………………………………………………………………….
Контрольное задание ………………………………………………………
Литература ………………………………………………………………….