В реальной ситуации нередко одна из сторон коммерческой сделки обращается к другой с предложением изменить условия ранее заключенных соглашений.
Наиболее часто предлагается изменить сроки платежей в сторону их увеличения, произвести объединение нескольких платежей в один (консолидировать платежи) с установлением единого срока погашения.
Принцип, на котором базируется такое изменение контракта, называется принципом финансовой эквивалентности обязательств, который предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменения контракта.
Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи приведены к одному моменту времени, оказываются равными. Рассмотрим рис. 6 S 1 и S 2 - суммы, приуроченные к моменту времени t = 2 и t = 4 соответственно.
Приведем обе суммы S 1 и S 2 к начальному моменту времени по ставке приведения i, т.е. произведем дисконтирование этих сумм:
A 1 = S 1 (1 + i)-2, A 2 = S 2 (1 + i)-4.
Если A 1 = A 2 , то суммы S 1 и S 2 эквивалентны. Следовательно, замена суммы S 1 при t = 2 на сумму S 2 при t = 4 и наоборот, не изменит финансовых отношений сторон участников коммерческой сделки. Рассмотрим рис.7.
Здесь сравниваются два потока платежей: S 1 , S 2 и P 1, P 2 по сложной процентной ставке i. Для того чтобы заменить суммы S 1 и S 2 на две другие, эквивалентные по своим финансовым последствиям, суммы P 1 и P 2, применим принцип финансовой эквивалентности. Именно, приведем платежи S 1 и S 2 к начальному моменту времени (можно к любому другому) и сложим их:
S 1 (1 + i)-2 + S 2 (1 + i)-4 . (27)
То же самое проделаем с платежами P 1 и P 2:
P 1 (1 + i)-5 + P 2 (1 + i)-7. (28)
Приравнивая (27) и (28), получим уравнение эквивалентности:
S 1 (1 + i)-2 + S 2 (1 + i)-4 = P 1 (1 + i)-5 + P 2 (1 + i)-7. (29)
Очевидно, что данный метод распространяется на любое конечное число сумм. Если сравнение происходит по простой ставке i, то уравнение (29) примет вид:
S 1 (1 + 2 i)-1 + S 2 (1 + 4 i)-1 = P 1 (1 + 5 i)-1 + P 2 (1 + 7 i)-1.
В случае, когда несколько платежей S 1, S 2, S 3 со сроками n 1, n 2, n 3 соответственно, заменяются одним S 0 со сроком n 0, то уравнение эквивалентности в случае простых процентов запишется в виде:
S 0 = S 1 (1 + (n 0 - n 1 ) i) + S 2 (1 + (n 0 - n 2 ) i) + S 3 (1 + (n 0 - n 3 ) i),
если n 0 > n 1, n 2, n 3. В другом случае, если n 1 < n 0 < n 3, нужно применять как наращение (при n 0 > nk), так и дисконтирование (n 0 < nk).
Если проценты сложные, то, если n 1 < n 0 < n 2 < n 3, уравнение эквивалентности примет вид (суммы приводятся к моменту n 0):
S 0 = S 1 (1 + i) 
+ S 2 (1 + i) -( 
) + S 3 (1 + i)-( 
).
Пример. Два платежа - 1 и 0,5 млн руб. со сроками уплаты соответственно 150 и 180 дней - объединяются в один со сроком 200 дней. Определите консолидированную сумму долга, если стороны согласились на применение простой ставки, равной 20 %.
Решение. Приводя суммы 1 и 0,5 млн руб. к сроку n0 = 200 дней, получим уравнение эквивалентности (К = 360):
S0 = 1000 (1 + 
0,2) + 500 (1 + 
0,2) = 1533,32 тыс. руб.
Пример. Имеется два кредитных обязательства - 500 тыс. руб. и 600 тыс. руб. со сроками уплаты 01.10 и 01.01 (нового года).
По согласованию сторон обязательства были пересмотрены на новые условия: первый платеж в размере 700 тыс. руб. должник вносит 01.02, остальной долг он выплачивает 01.04. Ставка сравнения 10 % простая. Рассчитайте величину второго платежа S0.
Решение. За дату приведения примем 01.01 (нового года), К = 360. Учитывая, что 01.10 - 274-й порядковый день в году, 01.02 - 32-й день, 01.04 - 91-й день, запишем уравнение эквивалентности:
500 (1 + 
0,1) + 600 = 700 (1 + 
0,1)-1 + S 0 (1 + 
0,1)-1.
Решая это уравнение относительно S 0, находим: S 0 = 409,417 тыс. руб.
Задачи
7.1. Долг в размере 300 тыс. руб. должен быть выплачен через два года. Найдите эквивалентные значения для этой суммы (ставка сравнения 25 %):
а) в конце первого года,
б) через 5 лет.
Ответ: а) 240 тыс. руб.; б) 585,938 тыс. руб.
7.2. Вычислите эквивалентное значение долга, которого он достигнет через два года, если в настоящее время он составляет 42 тыс. руб. Проценты начисляются поквартально по ставке 40 % годовых. Ответ:90,031 тыс. руб.
7.3. Исходный поток платежей составляет: 200 тыс. руб. - через один год, 175 тыс. руб. - через два года, 210 тысяч руб. - через 4 года. Замените его эквивалентным множеством, состоящим из двух выплат, равных по величине, первая из которых осуществляется через 1,5 года, а вторая - через 4 года. Проценты начисляются по ставке 8 % годовых каждые полгода.
7.4. Долг должен быть погашен двумя платежами: 100 тыс. руб. через один год и 370 тыс. руб. через три года. Определите срок, при котором замена обеих выплат одной, в размере 480 тыс. руб., будет эквивалентной при ставке – 15 % годовых.
7.5. По условиям контракта, заключенного 01.02, за полученные в кредит товары фирма должна заплатить через 120 дней - 1,5 млн руб., а затем через 240 дней еще 1,2 млн руб. Достигнуто соглашение с кредитором об изменении условий контракта. Платежи производятся равными суммами: первый платеж - через 90 дней, второй - через 180 дней. При расчете применяется простая ставка 10 % годовых. Определите величину каждого платежа. Ответ: 1,3361 млн руб.
7.6. Строительная фирма получила в банке долгосрочный кредит в размере 5 млн. руб. под 6 % годовых (проценты сложные), срок погашения - через 5 лет. Впоследствии стороны пересмотрели условия займа и выработали новые: через три года производится выплата 3 млн. руб., остальная сумма выплачивается через 4 года. Процентная ставка сохраняется прежней. Определите сумму окончательного платежа.
7.7. Заемщик должен уплатить кредитору 10 млн руб. через 5 лет. Стороны согласились изменить условия погашения долга: через 2 года выплачивается 3 млн руб., а оставшийся долг спустя 4 года после первой выплаты. Определите сумму окончательного платежа, если сложная процентная ставка равна 10 % годовых.
