По вычислительной математике III курс 5 семестр
| № группы | Фамилия студента | Оценка | Фамилия проверяющего |
Вариант 5
КВ: Теорема об эквивалентности представления интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и в форме Ньютона.
- (6) Для функции, заданной таблично, найти значение первой производной в указанной точке с максимально возможной точностью.
| x | x 1=0. | x 2=2. | x 3=3. | x 4=5. | x5 =7. |
| f (x) | –1. | 0. | 2. | 3. | 5. |
- (4) Методом обратной интерполяции найти корень нелинейного уравнения, используя приведенные таблицы, оценить точность полученного решения.
| x | x 1=0.5 | x 2=0.6 | x 3=0.8 | x 4=1. |
| f (x) | –0.378 | –0.225 | 0.103 | 0.460 |
- (4) Методом простой итерации найти ширину функции на полувысоте с точностью 10-3:
- (6) Для нахождения положительного корня нелинейного уравнения предложено несколько вариантов МПИ. Исследовать эти методы и сделать выводы о целесообразности использования каждого из них.
- (4) Для системы нелинейных уравнений указать начальное приближение и описать метод Ньютона для нахождения решения, оценить количество необходимых итераций для достижения точности 10-5.
- (6) Для функции, заданной таблично, вычислить значение определенного интеграла методом трапеций, сделать уточнение результата по правилу Рунге. Сравнить уточненный результат с вычислениями по методу Симпсона.
| x | x 1=0. | x 2=0.125 | x 3=0.25 | x 4=0.375 | x 5=0.5 | x 6=0.625 | x 7=0.75 | x 8=0.875 | x 9=1. |
| f (x) | 0.000000 | 0.124670 | 0.247234 | 0.364902 | 0.473112 | 0.563209 | 0.616193 | 0.579699 | 0.000000 |
- (5) Предложите метод вычисления несобственного интеграла
с точностью 10-4.
8 *. (5) Пусть A = A T>0, 
и 
. Доказать, что число обусловленности 
монотонно убывает по α при α >0.
9 *. (6) Оцените минимальное число узлов, необходимых для вычисления интеграла 
с точностью ε=10-2 по методам трапеций, Симпсона и квадратур Гаусса. Вычислите интеграл с заданной точностью любым из этих методов.
10 *. (6) Построить квадратуру Гаусса с двумя узлами для вычисления интеграла 
.
Ответы к варианту 1
1. 
2. x =1.850.
3. Т. Max 
6. Это численный интеграл 
, I h=1.603144, I 2h=1.596321, I R=1.605418, I S=1.605418
9. Ответ. Интегралы подобраны так, чтобы для квадратуры Гаусса было достаточно двух узлов, а по методу трапеций много больше. Точное значение: 
, по квадратуре Гаусса: 
Ответы к варианту 2
1. 
2. x =0.213.
3. Т. Max 
6. Это численный интеграл 
, I h=0.3669885, I 2h=0.371737, I R=0.365406, I S=0.365406
9. Ответ. Интегралы подобраны так, чтобы для квадратуры Гаусса было достаточно двух узлов, а по методу трапеций много больше. Приближенное (1000 узлов формулы трапеций): 0.856, по квадратуре Гаусса: 
Ответы к варианту 3
1. 
2. x =0.243.
3. Т. Max 
6. Это численный интеграл 
, I h=1.519006, I 2h= 1.5429765, I R= I S=1.511016
9. Ответ. Интегралы подобраны так, чтобы для квадратуры Гаусса было достаточно двух узлов, а по методу трапеций много больше. Точное значение: 
, по квадратуре Гаусса: 9/5=1.8
Ответы к варианту 4
1. 
2.x=–0.1054
3. Т. Max 
6. Это численный интеграл 
, I h=1.575095, I 2h=1.572338, I R=1.576014, I S=1.576014
9. Ответ. Интегралы подобраны так, чтобы для квадратуры Гаусса было достаточно двух узлов, а по методу трапеций много больше. Приближенное (1000 узлов формулы трапеций): 0.923, по квадратуре Гаусса: 
Ответы к варианту 5
1. 
2. x =0.7311
3. Т. Max 
6. Это численный интеграл 
, I h=0.371127, I 2h=0.334135, I R=0.383458, I S=0.383458
9. Ответ. Интегралы подобраны так, чтобы для квадратуры Гаусса было достаточно двух узлов, а по методу трапеций много больше. Точное значение: 
, по квадратуре Гаусса: 
Для вычисления интеграла 
используется таблица значений подынтегральной функции:
| x | x 1=0. | x 2=0.125 | x 3=0.25 | x 4=0.375 | x 5=0.5 | x 6=0.625 | x 7=0.75 | x 8=0.875 | x 9=1. |
| f (x) | 0.909091 | 1.007266 | 1.139113 | 1.278655 | 1.443376 | 1.643421 | 1.889822 | 2.151657 | 0.000000 |
Нетрудно посчитать, что подынтегральная функция имеет максимум в точке 
, и поведение функции на правом краю интервала интегрирования сеточной функцией не прописано. Вычисления методом трапеций дают значение I h=1.375982, I 2h=1.231714, уточнение по правилу Рунге в точности совпадает с применением метода Симпсона I S= I R=1.424071. Довольно муторными выкладками этот интеграл можно вычислить точно, и его значение 
.
Давайте построим решение по алгоритму Рунге-Ромберга на основе экстраполяции вычисленных интегралов в нулевой шаг интегрирования (по h 2) для метода трапеций и метода Симпсона вычисления определенного интеграла.
Метод трапеций:
| h 2 | I | Δ1 | Δ2 |
| (0.5)2=0.25 | 0.948961 | ||
| -1.508016 | |||
| (0.25)2=0.0625 | 1.231714 | 6.697392 | |
| -3.0777173 | |||
| (0.125)2=0.015625 | 1.375982 |
Интерполяция в нулевой шаг интегрирования дает I =1.430612, ошибка довольно велика (3,67%).
Метод Симпсона:
| h 2 | I | Δ1 | Δ2 |
| (0.5)2=0.25 | 1.113765833 | ||
| -1.131730222 | |||
| (0.25)2=0.0625 | 1.32596525 | 4.1011788 | |
| -2.092944 | |||
| (0.125)2=0.015625 | 1.424072 |
Интерполяция в нулевой шаг интегрирования дает I =1.460779, ошибка вдвое меньше (1,64%), но тоже велика.
Измельчим шаг еще вдвое, при этом впервые появляется единственная точка на убывающем участке функции:
| h 2 | I | Δ1 | Δ2 | Δ3 |
| (0.25)2=0.0625 | 1.32596525 | |||
| -2.092944 | -79.845679 | |||
| (0.125)2=0.015625 | 1.424072 | 23.7507015 | ||
| -3.484586666 | ||||
| (0.0625)2=0.00390625 | 1.464907 |
Интерполяция в нулевой шаг интегрирования по трем последним шагам дает I =1.479968, ошибка 0,35%.
Интерполяция в нулевой шаг интегрирования по четырем последним шагам дает I =1.480273, ошибка 0,33%. Заметим, что вычисление методом Симпсона даже для самой мелкой сетки дает отличия значительно большие: 1.36%.
Интересно сравнить этот результат с интегрированием по Симпсону, когда поведение функции на правом конце учтено еще лучше:
| h 2 | I | Δ1 | Δ2 |
| (0.1)2=0.01 | 1.442913 | ||
| -3.7344000 | |||
| (0.05)2=0.0025 | 1.470921 | 137.78488888 | |
| -5.02613333 | |||
| (0.025)2=0.000625 | 1.480345 |
Интерполяция в нулевой шаг интегрирования дает I =1.483702, погрешность (0,096%).
Теор. Задачи
- Доказать подчиненность матричной нормы при выборе октаэдрической нормы вектора.
- Можно ли утверждать, что матрица плохо обусловлена, если определитель матрицы мал?
- Пусть A = A T>0, и . Доказать, что число обусловленности монотонно убывает по α при α>0.
- Найти область сходимости метода Якоби и метода Зейделя решения СЛАУ A x =f c матрицей
- Получить формулы односторонней аппроксимации второго порядка производной в точке x=x 0 по значениям функции в точках x=x 0, x=x 1= x 0+ h, x=x 2= x 0+2 h двумя способами; 1) используя интерполянт 2)методом неопределенных коэффициентов.
10.* Функция f(x) задана таблицей своих значений в узлах интерполяции
| x 0= 0. | x 1=1. | x 2=2. | x 3=3. | x 4=4. |
| 1.00000 | 0.86603 | 0.50000 | 0.00000 | –0.50000 |
а) Построить кубический сплайн для этой функции, предполагая, что сплайн имеет нулевую кривизну при x=x 0 и x=x 4. Вычислить приближенное значение функции в точке x *=1.5.
б) Предложить способ вычисления интеграла от быстро осциллирующей функции 
1 вар-т x=1.5
| x 0= 0. | x 1=1. | x 2=2. | x 3=3. | x 4=4. |
| 0.00000 | 0.50000 | 0.86603 | 1.00000 | 0.86603 |
2 вар-т x=0.8
| x 0= 0.1 | x 1=0.5 | x 2=0.9 | x 3=1.3 | x 4=1.7 |
| –2.3026 | –0.69315 | –0.10536 | 0.26236 | 0.53063 |
3 вар-т x=3.0
| x 0= 0. | x 1=1.7 | x 2=3.4 | x 3=5.1 | x 4=6.8 |
| 0.00000 | 1.3038 | 1.8439 | 2.2583 | 2.6077 |
4 вар-т x=0.1
| x 0=--0.4 | x 1=--0.1 | x 2=0.2 | x 3=0.5 | x 4=0.8 |
| 1.9823 | 1.6710 | 1.3694 | 1.0472 | 0.64350 |
5 вар-т x=1.5
| x 0= 0. | x 1=1. | x 2=2.0 | x 3=3.0 | x 4=4.0 |
| 1.00000 | 1.5403 | 1.5839 | 2.0100 | 3.3464 |
Ответы
1. Отрезок [1,2] a=0.5 b=0.451808 c=–0.0722874 d=–0. 134956 f(x)=0.706145
2. Отрезок [0.5,0.9] a=–0.693147 b=2.72502 c=–4.86964 d=4.32685 f(x)= –0.197082
3. Отрезок [1.7,3.4] a=1.30384 b=0.535474 c=–0.204257 d=0.0447927 f(x)=1.75317
4. Отрезок [–0.1,0.2] a=1.67096 b=–1.02012 c=0885522 d=–0.128102 f(x)=1.46946
5. Отрезок [1.,2.] a=1.54030 b=0.252035 c=–0.432401 d=0.223917 f(x)=1.58621
