Плотность распределения вероятностей случайной величины

Выше непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (часто ее называют дифференциальной функцией).

 

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f (x) - первую производную от функции распределения F (x):

f (x)= F' (x).

 

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

 

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

.

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F (х) по формуле

.

Свойства плотности распределения:

 

Свойство 1. Плотность распределения - неотрицательная функция: .

Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью Ох, либо на этой оси. График плотности распределения называют кривой распределения.

 

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

.

 

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.

 

В частности, если все значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то

.

 

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако он зачастую неизвестен заранее и приходится пользоваться косвенными сведениями. Во многих случаях этих косвенных характеристик вполне достаточно для решения практических задач и определять закон распределения не нужно. Такие характеристики называют числовыми характерис тиками случайной величины. И первой из них является математическое ожидание.

 

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений (x ₁, x ₂, …, x_n) на их вероятности (p ₁, p ₂, …, p_n):

.

 

Следует заметить, что M (x) есть неслучайная (постоянная) величина. Можно доказать, что M (x) приближенно равно (и тем точнее, чем больше число испытаний n) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

 

Математическое ожидание имеет следующие свойства:

 

· Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

.

· Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

· Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин X и Y (т.е. закон распределения одной из них не зависит от возможных значений другой) равно произведению их математических ожиданий:

.

· Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

.

 

Здесь под суммой X + Y случайных величин понимается новая случайная величина, значения которой равны суммам каждого значения X с каждым возможным значением Y; вероятности возможных значений X + Y для независимых случайных величин X и Y равны произведениям вероятностей слагаемых, а для зависимых – произведениям вероятностей одного слагаемого на условную вероятность другого. Так, если X и Y – независимы и их законы распределения

 

X	x 1	x 2	и	Y	y 1	y 2
P	p 1	p 2	G	g 1	g 2

то для суммы:

 

X+Y	x 1+ y 1	x 1+ y 2	x 2+ y 1	x 2+ y 2
PG	p 1 g 1	p 1 g 2	p 2 g 1	p 2 g 2

 

· Если производится n независимых испытаний, в

каждом из которых вероятность события A постоянна и равна p, то математическое ожидание числа появлений события A в серии:

.

 

Отметим, что свойства третье и четвертое легко обобщаются для любого количества случайных величин.

 

Дисперсия дискретной случайной величины

Математическое ожидание – удобная характеристика, но часто ее недостаточно для суждения о возможных значениях случайной величины или о том, как они рассеяны вокруг среднего значения. Поэтому вводятся и другие числовые характеристики.

 

Пусть X – случайная величина с математическим ожиданием M (X). Отклонением X ₀ назовем разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием:

.

 

Математическое ожидание отклонения M (X ₀) = 0.

Пример. Пусть задан закон распределения величины X:

X
P	0,2	0,8

 

Математическое ожидание . Тогда закон распределения отклонения

X – M (X)	– 0,8	0,2
P	0,2	0,8

 

и

 

Отклонение является промежуточной характеристикой, на основе которой введем более удобную характеристику. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величиныназывается математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины:

.

Для примера найдем дисперсию величины X со следующим законом распределения:

X
P	0,1	0,6	0,3

 

Здесь . Закон распределения квадрата:

X 2
P	0,1	0,6	0,3

 

Здесь . Искомая дисперсия:

 

.

 

Величина дисперсии определяется не только значениями случайной величины, но и их вероятностями. Поэтому в случае если две случайные величины имеют одинаковые или близкие математические ожидания (это достаточно часто встречается), то дисперсии, как правило, различны. Это позволяет дополнительно характеризовать изучаемую случайную величину.

 

Перечислим свойства дисперсии:

· Дисперсия постоянной величины равна нулю:

.

· Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

.

· Дисперсия суммы и разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

и .

· Дисперсия числа появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность P появления события постоянна, определяется по формуле:

,

где – вероятность непоявления события.

 

Удобной вспомогательной характеристикой, используемой в расчетах даже чаще, чем D (X), является среднеквадратическое отклонение (или стандарт) случайной величины:

.

 

Дело в том, что D (X) имеет размерность квадрата размерности случайной величины, а размерность стандарта  X) та же, что и у случайной величины X. Это очень удобно для оценки разброса случайной величины.

 

Пример. Пусть случайная величина задается распределением:

X	2м	3м	10м
P	0,1	0,4	0,5

 

Рассчитываем: м,

м² м²,

а стандарт: м.

 

Поэтому про случайную величину X можно сказать либо – ее математическое ожидание 6,4 м с дисперсией 13,04 м², либо – ее математическое ожидание 6,4 м с разбросом м. Вторая формулировка, очевидно, нагляднее.

 

Отметим, что для суммы n независимых случайных величин:

.

 

Начальные и центральные теоретические моменты

Для большинства практических расчетов введенных выше числовых характеристик M  X), D  X)и  X) достаточно. Однако для исследования поведения случайных величин можно использовать и некоторые дополнительные числовые характеристики, позволяющие отследить нюансы поведения случайной величины и обобщить вышеизложенную теорию.

 

Начальным моментомk -го порядка случайной величины X называется математическое ожидание величины X ^k :

.

В частности, ; .

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии можно записать так:

.

 

Кроме моментов случайной величины X вводятся и моменты отклонения .

 

Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины :

.

В частности, ; .

Начальные и центральные моменты легко связываются между собой. Так, можно получить:

; ; .

 

Моменты более высоких порядков применяются очень редко.