Пусть имеется полная группа несовместных событий 
, 
, …, 
с известными вероятностями 
, 
, …, 
. Событие A может наступить только при появлении одного из событий 
, причем известны условные вероятности 
, 
, …, 
. Найти вероятность события A по этим данным позволяет формула полной вероятности:
.
Пример. Предполагается произвести два выстрела в цель из орудия. Необходимо оценить вероятность события A: «разрушение цели», если вероятности попадания снаряда в цель:
- 0 снарядов 
; - 1 снаряда 
; - 2 снарядов 
,
и вероятности разрушения цели при попадании в нее
- 0 снарядов 
; - 1 снаряда 
; - 2 снарядов 
.
Так как события 
составляют полную группу, то вероятность разрушения цели:
Пусть теперь событие A может, по-прежнему, наступить с одним из несовместных событий , , …, , образующих полную группу. Пусть в результате какого-то из испытаний событие A произошло. Возникает вопрос, как изменятся условные вероятности событий , , …, , т.е. 
в результате наступления события A?
Ответ на этот вопрос дает формула Байеса
,
где 
– полная вероятность события A.
Пример. По цели было произведено два выстрела, и цель была поражена. Используя данные предыдущего примера, требуется найти вероятности 
, 
, 
получения ровно 0, 1 и 2 попаданий.
Вероятность полного отсутствия попаданий:
.
Вероятности одного или двух попаданий:
; 
.
Видно, что вероятности событий после разрушения цели изменились, точнее, изменились их условные вероятности, хотя события по-прежнему составляют полную группу.
Формула Байеса широко применяется при решении проблем с недостаточной информацией: пусть имеется несколько несовместных предположений (гипотез), которые надо проверить с помощью опыта. Перед началом опыта далеко не всегда можно определить вероятности этих гипотез, которые называют доопытными или априорными вероятностями. Этими вероятностями приходится задаваться, исходя из какого-то опыта или просто по интуиции. Как только опыт проведен, появляется информация, с помощью которой можно произвести коррекцию априорных вероятностей.
Таким образом, основываясь на результатах опыта, заменяют априорные вероятности послеопытными (или апостериорными). Надо учитывать, что вероятности отдельных гипотез после опыта могут сильно измениться и даже уменьшиться настолько, что ими можно пренебречь, т.е. в нашем примере – отбросить гипотезу 
. После коррекции эксперимент можно продолжать (повторять опыт), продолжая уточнять вероятности гипотез. По мере уточнения производится обоснованное изменение различных решений практических задач, оперативных планов работы и т.п.
Случайные величины
Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать различные заранее не известные значения.
Случайные величины можно разделить на два основных вида – дискретные и непрерывные.
Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любое значение из конечного или бесконечного счетного множества значений, т.е. такого множества, элементы которого могут быть занумерованы в каком-нибудь порядке и выписаны в последовательности 
, 
, …, 
, …
Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые неизвестные заранее значения из рассматриваемого участка или интервала.
Так число будущих министров среди ста выпускников института – дискретная случайная величина с возможными значениями 0, 1, 2, …, 100, а дальность полета пули при выстреле – непрерывная и заранее неизвестная величина от 0 до 1 км.
Для задания дискретной случайной величины необходимо перечислить все ее возможные значения и указать вероятности этих значений.
Законом распределения (или рядом распределения) дискретной случайной величины называется соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения может задаваться таблицей, формулой или графиком. При табличном задании первая строка таблицы содержит возможные значения, вторая – вероятности этих значений.
| X | x 1 | x 2 | … | xn |
| P | p 1 | p 2 | … | pn |
В любом законе распределения необходимо перечислять все возможные значения случайной величины, следовательно, события x 1, x 2, …, xn образуют полную группу и
.
Пример. В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывался один выигрыш в 50 у.е. и десять выигрышей по 1 у.е. Найти закон распределения величины X – стоимости возможного выигрыша.
Возможные значения величины X: x 1 = 0; x 2 = 10 и x 3 = 50. Так как «пустых» билетов – 89, то p 1 = 0,89, вероятность выигрыша 1 у.е. (10 билетов) – p 2 = 0,10 и для выигрыша 50 у.е. – p 3 = 0,01. Таким образом:
| X | |||
| P | 0,89 | 0,10 | 0,01 |
Легко проконтролировать: 
.
Ряд распределения можно задать графически, если по оси x откладывать значения X, а по оси y – значения P и соединять отрезками полученные точки.
Для целого ряда процессов получены аналитические формулы законов распределения. Приведем обзор наиболее распространенных.
Распределение Бернулли (или биномиальное)
Пусть в серии n независимых испытаний событие A может появиться или не появиться в каждом испытании. Вероятность появления A равна p, непоявления q = 1– p. Случайной величиной X объявим число появлений события A в этих n испытаниях. Значения величины X: 0, 1, 2, …, n; k – номер испытания: 0, 1, 2, …, n. Тогда закон Бернулли имеет вид:
.
Распределение Пуассона
Это распределение используется для определения вероятности того, что при очень большом количестве испытаний (массовые испытания), в каждом из которых вероятность события A очень мала (p событие A наступит ровно k раз. Закон Бернулли здесь неудобен, используется формула:
, где 
.
Пример. Произведено 5000 патронов. Вероятность того, что какой-то патрон – бракованный 
. Какова вероятность того, что во всей партии будет ровно 3 негодных патрона?
Здесь n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Находим 
, тогда искомая вероятность: 
.
Геометрическое распределение
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A имеет вероятность появления p (и непоявления q = 1 – p). Испытания заканчиваются, как только произойдет событие A.
При таких условиях вероятность того, что событие A произойдет на k -ом испытании, определяется по формуле:
.
Пример. При стрельбе до первого попадания с вероятностью попадания p = 0,6 надо найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.
Здесь p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4; k = 3. Следовательно, 
