Функция распределения вероятностей случайной величины

Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания неприменим для непрерывных случайных величин.

Действительно, рассмотрим случайную величину X, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (а, b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функцию распределения вероятностей случайной величины.

Пусть х - действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т. е. вероятность события Х < х, обозначим через F(x). Разумеется, если х изменяется, то, вообще говоря, изменяется и F(x), т. е. F (х) —функция от х.

 

Функцией распределения называют функцию F (х), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е.

F(x)=P(X<x).

 

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

 

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».

Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойства функциираспределения:

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]:

 

Свойство 2. F (х) — неубывающая функция, т. е.

, если .

 

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a X<b)=F(b)—F(a).

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

 

Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Этот факт полностью соответствует требованиям практических задач. Например, интересуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.

 

Заметим, что было бы неправильным думать, что равенство нулю вероятности Р(X = x₁) означает, что событие Х= x₁ невозможно (если, конечно, не ограничиваться классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным х₁.

 

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то:

1) F(x) =0 при х а;

2) F(x) =1 при x b.

 

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

 

Изложенные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины:

График расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство).

 

При возрастании х в интервале (а, b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «поднимается вверх» (второе свойство).

 

При ординаты графика равны нулю; при ординаты графика равны единице (третье свойство).