Как уже отмечалось, исследование изгиба абсолютно жестких пластин сводится к интегрированию дифференциального уравнения
(176)
Уравнение (176) представляет дифференциальное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами.
Интегрирование таких уравнений будем производить методом разделения переменных, используя для этой цели тригонометрические функции.
Рассмотрим пластину, все четыре кромки которой свободно оперты на жесткий контур. В этом случае упругая поверхность пластины на опорном контуре должна удовлетворять условиям (см. § 7)
(177)
Будем искать решение дифференциального уравнения (176) в виде ряда
(178)
где аmn — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
Выражение (178) удовлетворяет граничным условиям (177). Представляя нагрузку q(х, у) в виде двойного ряда Фурье
(179)
и подставляя выражения (178) и (179) в дифференциальное уравнение (176), получим
(180)
Приравнивая коэффициенты при произведении синусов в левой и правой части, найдем
(181)
так что общее выражение для стрелки прогиба будет
(182)
Элементы изгиба пластины могут быть определены по формулам § 4.
Для определения коэффициентов разложения нагрузки q(х, у) в двойной тригонометрический ряд воспользуемся общим методом разложения функции в ряды Фурье.
Умножая обе части равенства
(183)
на произведение 
и интегрируя в пределах от
«О» до «a2 и от «О» до «b», получим
(184)
Так, в случае действия на пластику нагрузки, изменяющейся по закону
,
нетрудно получить следующую формулу, определяющую коэффициенты qmn
(185)
