Ряды.
3.1 Написать пять первых членов ряда по данному общему члену 
.
Решение. Полагая 
, получаем 
. Если 
, то 
и далее (при 
) 
, 
, 
. Следовательно,
3.2 Написать формулу общего члена для ряда
Решение. Знаменатели членов данного ряда – квадраты натуральных чисел, следовательно, общий член ряда
.
3.3 Найти для ряда частичную сумму первых n членов (Sn); показать, пользуясь определением, сходимость (расходимость) ряда; найти сумму ряда (S):
Решение. Общий член ряда запишем иначе:
.
Определяя коэффициенты А и В, получаем 
.
Следовательно, 
.
Напишем частичную сумму ряда
.
,
отсюда следует, что ряд сходится и его сумма S=1.
3.4 Исследовать сходимость ряда 
Решение: Найдем 
- необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.
3.5 Исследовать на сходимость ряд 
Решение: Т.к. 
, а гармонический ряд 
расходится, то расходится и ряд 
.
3.6 Исследовать на сходимость ряд 
Решение: Т.к. 
, а ряд 
сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд 
тоже сходится.
3.7 Определить сходимость ряда 
.
Решение: Используем признак Даламбера 
ряд сходится.
3.8 Определить сходимость ряда 
Решение: Используем признак Даламбера
ряд сходится.
3.9 Определить сходимость ряда 
.
Решение: Используем признак Коши 
ряд сходится.
3.10 Исследовать по интегральному признаку Коши сходимость ряда:
.
Решение. Пусть y= 
–непрерывная, монотонно убывающая и принимающая только положительные значения в интервале (0, 
) функция, причем ее значения, отвечающие целым положительным числам 1, 2, 3,…, совпадают с соответствующими членами 
данного ряда. Найдем несобственный интеграл
Несобственный интеграл расходится, следовательно, по интегральному признаку данный ряд тоже расходится.
3.11 Исследовать сходимость знакопеременных рядов:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
Решение. 1) Члены данного ряда убывают по абсолютной величине, знаки чередуются и общий член с возрастанием n стремится к нулю. Поэтому, согласно признаку Лейбница, ряд 1 сходится. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда
,
есть гармонический ряд, который, как уже известно, расходится. Следовательно, ряд 1 сходится условно.
2) Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине, однако общий член не стремится к нулю с возрастанием n, 
, т. е. необходимое условие сходимости ряда не выполнено, поэтому ряд 2 расходится.
3) Составим ряд из абсолютных величин данного знакопеременного ряда
(в)
Сравним ряд (в) со сходящимся рядом
(г)
Каждый член ряда (в) не превосходит соответствующего члена ряда (г), поэтому, согласно признаку сравнения, ряд (в) сходится. Следовательно, данный ряд 3 сходится абсолютно (безусловно).
3.12 Исследовать на сходимость ряд 
Решение: Применяем признак Даламбера:
.
Получаем, что этот ряд сходится при 
и расходится при 
.
Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.
При х = 1: 
ряд сходится по признаку Лейбница
При х = -1: 
ряд расходится (гармонический ряд).
3.13 Найти область сходимости рядов:
1) 
; 2) 
.
Решение. 1) 
. Ряд сходится только в одной точке x=0.
2) Положив в данном ряду x-1 =y, получим ряд
. (a)
Найдем радиус сходимости этого ряда:
. Исследуем поведение ряда на концах интервала 
. Пусть y= 
, тогда получим расходящийся ряд 
. Пусть y= 
, тогда получим ряд 
, который также расходится. Следовательно, ряд (а) сходится в интервале 
. Заменив переменную y через переменную x, получим искомую область сходимости данного ряда:
или 
.
Элементы гармонического анализа. Ряды Фурье.
3.13. Исследовать на периодичность функцию у = cos 5х + cos 7x.
Решение: Период функции cos5x T1 = 2 
/5, а функции cos7x Т2 = 2 /7.
Наименьшее число Т, при делении которого на 2 /5 и на 2 /7 получаются целые числа, есть число 2 , которое и будет периодом исходной функции.
Ответ: периодическая, T = 2 .
3.14. Исследовать на периодичность функцию y = sin 3x + sin pх.
Решение: Период функции sin3x T1 = 2 /3, а функции sin х - T2 = 2 / = 2. Однако общего периода у функций sin3x, sin х не существует, поскольку нет числа, при делении которого на 2 /3 и на 2 получились бы целые числа. Числа 2 /3 и 2 несоизмеримые.
Ответ: функция непериодическая.
3.15 Определить период функции y=cos2x. Решение. cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), где 2T=2π, т.е. Т=π.
3.16 Разложить в ряд Фурье периодическую функцию 
с периодом T = 2p на отрезке [-p;p].
Решение: Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:
Получаем: 
.
3.17 Разложить в ряд Фурье функцию
.
Решение. Здесь 
. Коэффициенты 
определяются по формуле (10), а коэффициенты 
– по формуле (11), в которых надо вместо 
подставить 2. Поэтому
;
Итак, 
(
).
Подставляя найденные значения коэффициентов 
в ряд (9), получим:
.
Численные методы.
3.18 Произвести отделение корней уравнения 
.
Решение. Это уравнение третьей степени, поэтому у него не более трёх корней. Подсчитаем несколько значений функции 
, выбирая для простоты целые значения 
:
Функция 
непрерывна (любой многочлен непрерывен), и имеет разные знаки на концах отрезков 
и 
; следовательно, по теореме о корне непрерывной функции, на каждом из этих трёх отрезков имеется не менее чем по одному корню. Однако корней не более трёх, так что на каждом отрезке ровно по одному корню. Тем самым нам удалось отделить все три корня 
, 
и 
уравнения (и при этом установить, что их действительно три, а не меньше):
3.19 Произвести отделение корней уравнения 
.
Решение. Для функции 
найдём производную 
. У этого квадратного трёхчлена отрицательный дискриминант: 
, поэтому 
сохраняет знак коэффициента при 
, то есть 
при всех 
. Следовательно, функция возрастает на всей оси 
и может иметь не более одного корня. Вычислим значения в точках 
и 
: 
. Это значения разных знаков, поэтому корень существует и отделён на отрезке 
.
3.20
х3-0.2х2+0,5х+1,4=0
Решение.
3.21
Функция 
задана значениями (округлены до 2 знаков после запятой)
| N | ||||
| x | 0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,6 |
| y | 0,32 | 0,46 | 0,79 | 0,89 |
1) Написать интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.
2) Вычислить значение функции в точке х*=0,18 при помощи многочлена Ньютона и схемы Эйткена.
3) Сравнить с табличными значениями.
Решение.
3.22 Вычислить 
с точностью до 0,001.
Решение. Данный интеграл не выражается в конечном виде через элементарные функции. Тем не менее с помощью степенных рядов его можно вычислить с любой степенью точностью.
Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Воспользуемся уже известным рядом
Заменив в этом ряде х на -х2, получим
,
отсюда
Вычислим члены этого ряда с точностью до 0,001, замечаем, что шестой член ряда по абсолютной величине меньше 0,001. Следовательно, для решения данной задачи, согласно признаку Лейбница, надо взять сумму первых пяти членов, что обеспечит требуемую точность:
3.23 Вычислить 
с точностью до 0,0001.
Решение. Воспользуемся известным рядом, выразив градусы в радианной мере:
;
, следовательно, третий член разложения
.
Поэтому, если положим 
, то погрешность, согласно признаку Лейбница, не превзойдет по абсолютной величине третьего члена а3, т. е. будет меньше заданной. Вычисляя с точностью до четвертого десятичного знака, находим
3.24 Найти три первых члена решения уравнения 
c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.
Решение: 1). Решение уравнения будем искать в виде 
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
Отсюда получаем: 
………………
Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной: 
Окончательно получим: 
Итого: 
2). Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.
Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что 
Далее запишем дифференциальное уравнение в виде 
и будем последовательно дифференцировать его по х.
После подстановки полученных значений получаем:
3.25 Вычислить приближенное значение интеграла 
методами прямоугольников, трапеций и Симпсона, разбив промежуток интегрирования на 10 равных частей.
Решение. Поскольку данный интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, то найдем его точное значение, с которым и будем сравнивать приближенные результаты:
.
Разобьем отрезок [0; 2] на 10 частей, найдем длину частичного интервала, ординаты точек деления и составим таблицу значений подынтегральной функции 
. Длина частичного отрезка 
. В таблице значений при вычислении значений функции ограничимся пятью знаками после запятой.
| X | Y |
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
По формуле “правых” прямоугольников (12) приближенное значение интеграла равно 
.
Формула “левых” прямоугольников (11) дает результат 
.
Формула трапеций (13) дает значение, равное среднему арифметическому двух предыдущих результатов 
.
Вычисления по формуле Симпсона (14) приводят к значению 
.
3.26
3.27 Методом Эйлера найти значение решения дифференциального уравнения 
для которого y( 1 )= 1, в пяти точках отрезка [1;1,5], приняв h= 0,1.
Решение. По формулам (2) находим точки 
Значение искомой функции y=y(x), удовлетворяющей условию данной задачи Коши, вычисляем по формуле (3). Результаты вычислений занесены в таблицу 1.
Таблица 1
| k | 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 1,0000 | 1,0 | 1,0 | 1,0000 | 0,1000 | 1,1000 | |
| 1,1000 | 1,1 | 2,2 | 1,1000 | 0,1100 | 1,2100 | |
| 1,2100 | 1,2 | 2,4 | 1,9000 | 0,1190 | 1,3290 | |
| 1,3290 | 1,3 | 2,6 | 1,2710 | 0,1271 | 1,4561 | |
| 1,4561 | 1,4 | 2,8 | 1,3439 | 0,1344 | 1,5905 | |
| 1,5905 | 1,5 | 3,0 | 1,4095 | 0,1410 | 1,7315 |
Основы вариационного исчисления
3.28
3.29
3.31
