Лекции.Орг


Поиск:




Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума




 

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

 

Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х1 максимум.

Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство:

, т.е.

Тогда

По определению:

 

Т.е. если Dх®0, но Dх<0, то f¢(x1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, то f¢(x1) £ 0.

 

А возможно это только в том случае, если при Dх®0 f¢(x1) = 0.

 

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х2 минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема доказана.

 

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

 

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

 

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

 

Пример: f(x) = ôxô Пример: f(x) =

 

y y

 

 

x

 

x

 

В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной. максимума, ни минимума, ни произ-

водной.

 

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

 

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1).

Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-10-06; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 412 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Если вы думаете, что на что-то способны, вы правы; если думаете, что у вас ничего не получится - вы тоже правы. © Генри Форд
==> читать все изречения...

741 - | 763 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.01 с.