Многокомпонентных задач

 

Основой решения многокомпонентных задач являются ориентированные графы (орграфы). Начало теории графов было положено Л.Эйлером в 1736 г. в его знаменитом рассуждении о кенигсбергских мостах, но как самостоятельная дисциплина она сформировалась в 30-е годы XX века. Теория графов многогранна, так же как и разнообразно ее применение: в технике, экономике, генетике, химии и других отраслях науки.

Основы теории графов и некоторые предложения достаточно хорошо изложены в специальной литературе. При решении многокомпонентных задач рассматривается лишь определенный вариант теории графов — ориентированные графы. При этом большое внимание уделяется отображению в формируемых моделях эколого-экономических систем обратных связей, которые присутствуют в любой сложной системе. Благодаря наличию обратных связей в моделях, результаты моделирования (анализа и прогноза) оказываются гораздо более достоверными, чем при использовании математического аппарата, который эти обратные связи отобразить не способен. Наглядность и простота реализации аппарата решения многокомпонентных задач делают их доступными для широкого круга специалистов, не обладающих глубокими познаниями в области прикладной математики.

Геометрически ориентированный граф можно представить в виде набора вершин, обозначаемых кружками, и дуг, соединяющих эти вершины. Дуга задает направление от одной вершины к другой. На рис. 13.1 показан орграф из четырех вершин.

 

 

Рис.13.1. Пример ориентированного графа

 

Путем в орграфе называется такая конечная последовательность дуг, в которой начало каждой последующей дуги совпадает с концом предыдущей. Дуги можно обозначить парой вершин, которые она соединяет. Например, от вершины 1 к вершине 2 ведут два пути: первый путь {(1,2)} и второй путь {(1,3); (3,2)}. Путь можно записать в виде последовательности вершин, через который он проходит. Например, второй путь можно записать следующим образом: {1,3,2}.

Контуром называется путь, начальная вершина которого совпадает с конечной. В орграфе, представленном на рис. 13.1, нет контура. На рис. 13.2 представлен орграф с контуром, проходящим через вершины 2, 4 и 3.

 

 

Рис. 13.2. Пример орграфа с контуром

 

Вершины, в которые не заходят дуги, называются начальными. Вершины, из которых не выходит ни одной дуги, называются конечными.

Матрицей смежности вершин орграфа называется квадратная матрица, каждый элемент которой численно равен единице, если есть дуга, идущая от вершины i к вершине j. Если такой дуги нет, то элемент (ij) матрицы смежности равен нулю. При решении многокомпонентных задач используются орграфы, в которых любые вершины i и j может непосредственно соединять только одна дуга. В табл. 13.1 показана матрица смежности для орграфа, представленного на рис. 13.3.

Таблица 13.1

Матрица смежности для орграфа, представленного на рис. 13.2

 

 

Показатели i	Показатели j
			Ll

 

Ориентированные графы являются основой представления многокомпонентных систем. В качестве вершин используются показатели, а дуги указывают влияние изменения одного показателя на изменение другого показателя. На рис. 13.3 представлен орграф, отражающий проблему состояния окружающей среды и развития крупного промышленного центра.

 

Рис. 13.3. Знаковый орграф изучения развития промышленного

центра и состояния окружающей природной среды

 

Построенную модель можно сделать более информативной, если дугам орграфа приписать знак «плюс» или «минус». Знак «плюс» ставится в том случае, если при увеличении значения показателя, от которого идет дуга, показатель, к которому дуга приходит, увеличивается. Знак «минус» ставится в обратном случае. Полученный орграф называется знаковым; поскольку на дугах знакового орграфа стоит +1 или —1, то этот коэффициент обозначим е_ij.

Основой моделирования многокомпонентных задач являются импульсные процессы. Сущность импульсного процесса состоит в том, что какой-либо вершине задается определенное изменение. Эта вершина актуализирует всю систему показателей, поэтому следует назвать ее активной или активизирующей. Таких вершин может быть несколько — обычно исследователь сам указывает активизирующие вершины и начальные изменения в этих вершинах. Предположим, что в модели, представленной знаковым орграфом на рис. 13.3, начальные значения всех показателей равны нулю, а активизирующая вершина — численность промышленных предприятий и начальное изменение равны 1. Значения в других вершинах будут меняться с каждым шагом имитации t, причем это изменение может быть определено согласно формуле:

где .

Расчет изменений значений показателей рассматриваемой модели приведен в табл. 13.2.

 

Таблица 13.2