Найдем произв. от перем. t от левой и право частей рав-ва.
Имеем слева: Имеем справа:
(∫f(x)dx)' = (∫f(x)dx)'x* x't = (∫f[φ(t)]* φ'(t)dx)' =
= f(x)* φ'(t) = f[φ(t)]* φ'(t) = f[φ(t)]* φ'(t)
Т. обр. произв. слева и справа равны Þ на основании Т. Лагранжа левые и правые части рав-ва одинаковы.
Доказанная ф-ла показ., что дост. вып-нить замены перем. в подынтегр. выр-нии. Причем часто вместо замены x=j(t) провод. замена t=y(x), где y(х) - дифф-я функция от х.
Удачная замена перм. часто позволяет упростить интеграл, а иногда свести его к табличному.
Метод интегрирования по частям.
(u v)’ = u’ v + u v’, где u = u(x); v = v(x).
d (u v) = (u’ v + u v’)dx = v u’dx + u v’dx =
d (u v) = v du + u dv.
Проинт. обе части этого рав-ва по х, получим
∫d (u v) = ∫v du + ∫u dv или ∫d(u*v) = u*v
∫u dv = u*v - ∫v du
Эта ф-ла применима, если подынт. выраж-е удается представить в виде проив-я нек. ф-и и дифференциала dv другой ф-и v, причем обозначения u и dv должны быть такими, чтобы вычисл. интегр. v du было бы более легкой задачей, чем вычисление исх. интергала.
К интегрированию по частям приводят интегралы след. типа: ∫xnexdx, ∫xn cosbx dx, ∫xn sinax dx, ∫xn lnx dx, ∫xn arcsinx dx, ∫xn arccosx dx и др.
Простейшими рацион. дробями назыв. дроби след. вида:
I. А/(х-а), где А, а – числа
II. А/(х-а)к, где k – число >1.
III. (Ах+В)/(х2+рх+q), где (p2/u) - q = D < 0. Квадратный трехчлен не имеет действительных корней. A, B, p, q - числа.
IV. (Ах+В)/(х2+рх+q)к, где k > 1 - целое число, (p2/u) - q = D < 0
Рассм. интегралы от этих дробей.
I. ∫ А/(х-а) dx = A ln│x-a│+ C
II. ∫ А/(х-а)к dx = A ((x - a)-k+1/(-k+1)) + C
III. ∫(Ах+В)dx/(х2+рх+q) = A/2 ∫(2x+p)dx/(х2+рх+q) - Ap/2 - B ∫ dx/(х2+рх+q)
(х2+рх+q)' = 2x+p
Ax+B = (2x+p) A/2 - Ap/2 +B
Выделим сначала произ. знаменателя.
В первом из этих интегралов, как видно, числитель – произв. знам-ля Þ он будет равен логарифму знам-ля, т.е. ∫(2x+p)dx/(х2+рх+q) = ln│х2+рх+q│+ C
Во втором из этих интегралов выделяем полный квадрат и затем сводим к arctg, получим ∫dx/(х2+рх+q) = 2/√4q - p2 * arctg (2x+p)/√4q - p2 + C
Чтобы применять следующую формулу надо проверять дискриминант:
∫(Ах+В)dx/(х2+рх+q)=A/2 ln│х2+рх+q│-(Ap-2B)/√4q - p2 * arctg (2x+p)/√4q - p2 + C
IV. Для дроби этого типа существ. рекур. ф-лы., позволяющие понижать k до единицы.
Рацион. дроби назыв. правильными, если показатель степени числ. дроби меньше, показателя знаменателя.
Всякая неправильная раион. дробь может быть представлена в виде суммы многочлена т прав. рацион. дроби.
Q(x)/P(x) = M(x) + Q1(x)/P1(x)
Далее для интегрирования прав. рацион. дроби её предс. в виде суммы дробей, указ. выше типов, руководствуясь след. утверждением:
Если знам-ль правой рац. дроби предст. в виде разложения
Q(x)/P(x) = P(x)/((x-a)α * (x2+px+q)β) =
То имеет место след. утверждение:
= A1/(x-a) + A2/(x-a)2 + Aα/(x-a)α + (M1x + N1)/(x2+px+q) + (M2x + N2)/(x2+px+q)2 + … + (Mβx + Nβ)/(x2+px+q)β
Как видно из посл. рав-ва правая часть предс. собой сумму простейших дробей, при этом каждому действит. однокр. корню соответствует простейшая дробь 1 типа. Каждому кратному действ. корню соотв. простейшие дроби 1 и 2 типов.
Если корень знам-ля комплексное число (D<0), то такому корню соотв. простейшая дробь.
Каждому комплекс. корню соотвт. простейшая дробь 4 типа.
