Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Лагранжа. Если f (x) непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то найдется хотя бы одна точка , для которой выполняется равенство: .

Теорема Ролля. Между двумя различными корнями дифференцируемой функции содержится, по меньшей мере, один корень её производной.

Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке:

если a, b – нули функции, т.е. и , то существует точка такая, что , т. е. с – ноль производной .

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля. Пусть f (x) непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех его внутренних точках и принимает на концах отрезка одинаковые значения . Тогда существует по крайней мере одна точка , в которой производная функции равна нулю: .

Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке:

если f (x) дифференцируема и , то найдется хотя бы одна точка , в которой касательная горизонтальна.

Теорема Коши. Если и – две функции, непрерывные на отрезке и дифференцируемые в интервале , причём для любого , то между а и b найдётся такая точка с, что .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Дифференциал функции. Стр. 2