Дифференциалом функции y=f(x), имеющей конечную производную 
, называется произведение её производной на приращение независимой переменной: 
/
Примечания:
1. В отличие от производной, величина которой может принимать как большие, так и малые значения в точке х, величина дифференциала всегда является малой и пропорциональной 
(например, если уменьшается вдвое, то dy уменьшается вдвое).
2. Очевидно, что если функция имеет конечную производную в точке х, то она имеет и дифференциал, именно поэтому мы называем функцию дифференцируемой.
3. Дифференциал функции f (x) зависит от двух переменных: точки дифференцирования х и приращения в точке х.
Если 
, то 
, то есть дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением.
Поэтому 
, то есть производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента.
Пример 1. Найти дифференциал функции 
.
Решение. По формуле 
.
Основными свойствами дифференциала являются:
1) 
, где с – константа.
2) 
.
3) 
.
4) 
.
Геометрический смысл дифференциала.
Дифференциал функции равен приращению ординаты точки касательной к графику y=f(x), когда аргумент 
получает приращение .
Приближённые вычисления значений функций.
Практическое значение дифференциала: нахождение дифференциала функции позволяет определить, насколько изменяется эта функция при небольших изменениях переменной, от которой она зависит.
При достаточно малых верна приближённая формула:
(*)
При этом приближенные равенства тем точнее, чем меньше 
, так как их погрешность есть величина более высокого порядка малости, чем .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Дифференциал функции. Стр. 1
Формулу (*) можно использовать для приближенного вычисления значения функции f (x) в "плохой" точке 
, если известно ее значение в близкой "хорошей" точке 
.
Пример 2. Вычислить 
при помощи дифференциала.
Решение. Вводим функцию 
. Требуется вычислить 
.
Найдем ближайшую "хорошую" точку, в которой f (x) легко вычислить: = 0, тогда 
.
Переходу от к соответствует приращение 
.
Для применения формулы (*) найдем 
, 
.
В итоге получим 
.
